Пусть — высота пирамиды, следовательно, так как пирамида правильная, — точка пересечения медиан .

Так как и , то Так как и , то . Аналогично для : , : , : ; . Следовательно, параллелограмм — сечение пирамиды плоскостью . Так как в правильной треугольной пирамиде ребро основания перпендикулярно противоположному ему боковому ребру, то ( — наклонная, а — ее проекция, следовательно, по ТТП из следует ). Так как то , следовательно, — прямоугольник. Пусть . Проведем . Аналогично доказательству в скобках — наклонная, — ее проекция, следовательно, из следует . Так как также , то — искомое расстояние.

Пусть , , . Тогда . , следовательно,

, следовательно,

Следовательно,

принимает максимальное значение тогда, когда принимает максимальное значение функция . Следовательно, , значит, , причем достигается это значение при . Значит, — середина Тогда