а) Построим сечение пирамиды плоскостью . Т.к. точки и являются серединами сторон, то – средняя линия, следовательно, .
Т.к. плоскость параллельна прямой , то она пересечет грани и по прямым, параллельным . Следовательно, .

 

Т.к. , , , то , причем .
 

 

Таким образом, имеем: , , следовательно, – параллелограмм. Т.к. и – середина стороны , то по теореме Фалеса – середина ребра . Аналогично – середина ребра . Т.к. пирамида правильная, то ее боковые ребра равны, следовательно, .

 

Рассмотрим и : они равны по двум сторонам и углу между ними (, т.к. в основании лежит правильный треугольник; боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, т.к. пирамида правильная).

 

Таким образом, . То есть диагонали параллелограмма равны, следовательно, по признаку он является прямоугольником.

 

б) Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Т.к. , то . Также очевидно, что .

 

Пусть – перпендикуляр на плоскость (то есть точка ). Тогда по теореме о трех перпендикулярах (, – наклонная) проекция (заметим, что ). Таким образом, мы имеем в плоскости две прямые и , которые перпендикулярны прямой , что возможно только если они параллельны. Но они не параллельны, т.к. имеют одну общую точку , значит, эти прямые совпадают, то есть точка должна лежать на прямой . Следовательно, перпендикуляр из точки на плоскость будет падать на продолжение отрезка .

 

Рассмотрим плоскость : , следовательно,

Найдем , , .
 

 

Т.к. – правильный, то (как высота).

 

Т.к. – средняя линия,то .

 

Т.к. и еще и медианы, а медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, то . Таким образом, .

 

Т.к. плоскость , то . Тогда с коэффициентом . Таким образом, .

 

По той же причине .

 

Т.к. – прямоугольный, то , следовательно, .

 

Тогда из равенства имеем: