Тема 14. Задачи по стереометрии
14.12 Нахождение площади сечения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#46502

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1  сторона основания AB = 6,  а боковое ребро AA1 = 5.  На ребре CC1  взята точка K  так, что CK  :KC1 = 1:4,  а на ребре A1C1  взята точка M  так, что A1M  :MC1 = 1:2.

а) Докажите, что плоскость BKM  делит ребро A1B1  в отношении 2:5,  считая от точки A1.

б) Найдите площадь сечения призмы плокостью BKM.

Показать ответ и решение

а) Пусть прямая MK  пересекает прямую AA1  в точке O.  Тогда это точка пересечения плоскости BMK  с плоскостью AA1B1.  Следовательно, плоскость BMK  пересекает плоскость AA1B1  по прямой BO.  Следовательно, N = BO ∩ A1B1.

Из условия следует, что A1M = 2,  MC1  = 4,  CK = 1,  KC1 = 4.  Так как △KC1M   ∼ △OA1M  как прямоугольные по острому углу (∠KMC1   =∠OMA1  как вертикальные), то OA  = 2.
   1

Также △OA1N  ∼ △OAB  как прямоугольные по общему острому глу O,  следовательно,

OA1-  A1N-             12               12-  30
OA  =  AB   ⇒   A1N  = 7   ⇒   NB1 = 6− 7 =  7  ⇒   A1N  :NB1 = 12:30= 2:5.

PIC

б) SBKMN  = SBKO − SNMO.  Найдем нужные значения:

     ∘ ------  √--
BK =   62+ 12 = 37;
       √-
MK  = 4 2;
      √ -
MO  =2  2;
KO = 6√2;
     ∘ ------  √--
OB =   62+ 72 =  85;
             √--
ON = 2OB  = 2 85.
     7      7

По теореме косинусов из △BKO  :

              2     2     2  ∘ ---                ∘ ---
cos∠BOK  = BO--+-KO--−-BK--=   10  ⇒   sin∠BOK  =   7-.
              2⋅BO ⋅KO         17                   17

Следовательно,

         1                              19√ --
SBKMN  = 2 sin∠BOK ⋅(BO  ⋅KO − NO ⋅MO )= -7  70.
Ответ:

б)  √ --
19-70
  7

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!