Рассмотрим правильный тетраэдр и описанную около него сферу с центром и радиусом . Центр сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды. Следовательно, точка лежит на прямой .

Рассмотрим треугольник : он прямоугольный, катет равен от высоты правильного треугольника , следовательно, . Тогда по теореме Пифагора из :

Центр сферы, описанной около правильного тетраэдра, лежит на отрезке (так как , то точка , лежащая на прямой и равноудаленная от точек и , лежит на отрезке ). Рассмотрим . По теореме Пифагора