Пусть дан отрезок и две точки , равноудаленные от точек и Тогда и лежат на серединных перпендикулярах и соответственно к отрезку . Отсюда получаем, что , следовательно, плоскость, в которой лежат точки , проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Докажем, что другая точка , равноудаленная от и будет лежать в этой плоскости. Аналогично , тогда . Тогда плоскости и совпадают, как две пересекащиеся плоскости, перпендикулярные одноой прямой.

Докажем, что любая точка плоскости равноудалена от концов отрезка Возьмем точку , — середина , следовательно, в отрезок — высота и медиана, следовательно, равнобедренный, то есть