По задаче id34258 следует, что, если , , , углы между гранями , и и основанием равны и соответственно, то

где , , .

Выражая из последних равенств косинусы и подставляя в , получим

Пусть , ,

Проведем высоту Будем пользоваться теоремой “площадь проекции многоугольника на некоторую плоскость равна произведению площади того многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции этого многоугольника”.

Тогда для и его проекции на плоскость получаем: . Аналогично ,

Так как все плоские углы при прямые, то , , . Следовательно, для и его проекции получаем . Аналогично , .

Так как

то подставляя в это равенство , , , получим:

Пусть прямые попарно перпендикулярны. прямая образует с ними углы соответственно. Проведем , , . Если отметить на отрезки , , , то получим прямоугольный параллелепипед , диагональ которого равна , а ребра равны .

Тогда

Рассмотрим два случая:

1.

Проведем из некоторой точки прямой прямую , следовательно, Отсюда следует по определению, что — проекция на плоскость Проведем . Тогда , следовательно, , следовательно, . Но также , так как перпендикулярна любой прямой, лежащей в Следовательно, — общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым и Чтд.

Так как , то Чтд.

2.

Тогда Далее построение аналогично построению в предыдущем пункте.

Пусть дан отрезок и две точки , равноудаленные от точек и Тогда и лежат на серединных перпендикулярах и соответственно к отрезку . Отсюда получаем, что , следовательно, плоскость, в которой лежат точки , проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.

Докажем, что другая точка , равноудаленная от и будет лежать в этой плоскости. Аналогично , тогда . Тогда плоскости и совпадают, как две пересекащиеся плоскости, перпендикулярные одноой прямой.

Докажем, что любая точка плоскости равноудалена от концов отрезка Возьмем точку , — середина , следовательно, в отрезок — высота и медиана, следовательно, равнобедренный, то есть

По условию получаем, что — тетраэдр. Проведем высоты к основаниям равнобедренных треугольников и Тогда основание каждой высоты — это середина основания. Следовательно, если — середина то

Тогда так как перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости Следовательно, перпендикуляна любой прямой из этой плоскости, откуда

Пусть , прямые и лежат в плоскости Пусть — перпендикуляры на прямые и соответственно.

Проведем . Тогда по обратной ТТП проекция , проекция . Также как прямоугольные по общему катету и гипотенузе . Следовательно, . Тогда — точка, равноудаленная от сторон угла , следовательно, лежит на его биссектрисе.

Пусть Проведем через некоторую точку прямую . Так как , то через них проходит плоскость , и притом только одна.

В плоскости проведем . Тогда плоскость , проходящая через две пересекающиеся прямые и , будет искомой плоскостью. Она единственна, так как через две пересекающие прямые проходит единственная плоскость, и она перпендикулярна , так как .

Пусть . Без ограничения общности можно считать, что пересекают в точках и соответственно (если какая-то прямая не пересекает то проведем прямую, параллельную ей, пересекающую ). Через прямую и точку можно провести плоскость. Заметим, что имеет с этой плоскостью одну общую точку – точку , следовательно, может как лежать в этой плоскости, так и пересекать ее. Если лежит в этой плоскости, то по теореме для плоскости “если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны” имеем . Если же пересекает эту плоскость, то по признаку скрещивающихся прямых .

Следовательно, ответ: нет.

Пусть , , . тогда .

Выберем на прямой точку таким образом, чтобы . Так как то . Следовательно, , то есть двум перпесекающимся прямым плоскости , значит,

Прямая: если прямая перпендикулярна проекции прямой на , то

Дана наклонная , , следовательно, по определению — проекция Так как , то прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и , следовательно, , откуда следует, что

 

Обратная: если прямая перпендикулярна наклонной к плоскости , то она перпендикулярна и проекции прямой на эту плоскость.

Так как , то прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и , следовательно, , откуда следует, что

Прямой факт:

Пусть даны , , , . Требуется доказать, что .

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна. Следовательно, проведем через и плоскость . По признаку перпендикулярности двух плоскостей .

Из построения следует, что прямая , она же прямая , есть линия пересечения плоскостей и . Пусть не перпендикулярна . Проведем через точку прямую в плоскости . Тогда перпендикулярна любой прямой из , следовательно, . Так как и лежат в одной плоскости (как две пересекающиеся прямые) и перпендикулярны прямой из этой плоскости, то они параллельны. Получили противоречие с тем, что

 

Обратный факт:

Прямые в пространстве могут быть параллельны, пересекаться или скрещиваться.

1.

. Пусть , , , .

Тогда . Три точки образуют плоскость , в которой лежат прямые (так как лежат две точки каждой прямой в этой плоскости). Но в плоскости если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны, следовательно, . Противоречие.

2.

. Пусть , , , .

Через точку прямой проведем прямую . По прямому факту получаем, что . Следовательно, получаем пункт 1., который невозможен.

Чтд.

Рассмотрим треугольную пирамиду , где , — высота. Докажем, что — центр описанной около окружности.

Так как то перпендикулярна любой прямой из плоскости , следовательно, — прямоугольные и общим катетом . Так как , то по катету и гипотенузе. Следовательно, . Следовательно, равноудалена от вершин , следовательно, по определению является центром описанной окружности.

Доказательство для производной пирамиды аналогично с единственной разницей, что равных треугольников будет не 3, а столько же, сколько вершин в основании этой пирамиды.

Заметим, что и — середины отрезков и соответственно. Треугольник — равносторонний, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов. Отрезок — средняя линия этого треугольника, параллельная стороне

Отрезок — медиана, а значит, и высота, проведенная к стороне Тогда имеем:

Пусть — точка на ребре такая, что

Обозначим сторону куба через . Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам:

Тогда их гипотенузы тоже равны, то есть .

Далее, и — параллелограммы, так как равен и параллелен , а равен и параллелен . Тогда и — тоже параллелограмм, так как противолежащие стороны попарно равны. Отсюда получаем .

Рассмотрим теперь ситуацию в квадрате . Имеем:

Треугольники и подобны по прямым углам

и отношению прилежащих к ним сторон

Следовательно, их соответствующие острые углы равны:

По сумме углов треугольника имеем:

Тогда найдем угол :

Таким образом, .

Вернемся к нашему кубу. Так как , то — проекция наклонной на плоскость . Мы доказали, что прямая перпендикулярна проекции , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной . Тогда имеем:

Проведем через точку прямую параллельно Поскольку как диагонали квадрата, то Далее, значит, является проекцией на плоскость

Мы доказали, что перпендикулярна проекции следовательно, по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна и самой наклонной Тогда имеем:

Опустим перпендикуляры на и на . Из прямоугольного треугольника имеем . Из прямоугольного треугольника имеем . Воспользовавшись равенством углов из условия, получаем .

Опустим перпендикуляр на , тогда луч — проекция луча на эту плоскость. Проведем и . Прямая перпендикулярна наклонной , следовательно, по обратной теореме о трех перпендикулярах (№5) перпендикулярна и ее проекции, т.е. . Аналогично .

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе ( — общая) и катету , следовательно, их оставшиеся катеты тоже равны .

Имеем , , , т.е. точка равноудалена от сторон угла , следовательно, — биссектриса угла .

Пусть — проекция точки на , — проекция точки на . по определению проекции, , следовательно, . Аналогично и . Тогда и однозначно задают плоскость. Из вышесказанного следует, что все углы четырехугольника прямые, он является прямоугольником. В прямоугольнике противолежащие стороны равны, т.е. , что и требовалось доказать (проекции равны).

По теореме Пифагора длина этих проекций равна .

Рассмотрим плоскости , и . Они попарно пересекаются, следовательно, прямые их пересечения либо попарно параллельны, либо пересекаются в одной точке. Однако две из этих трех прямых пересечения это прямые и , которые параллельны, т.к. — прямоугольникю Таким образом, вторая альтернатива (все три прямые пересекаются в одной точке) заведомо невозможна. Тогда прямая пересечения плоскостей и параллельная прямой .

, а также как стороны прямоугольника. Получили, что прямая перпендикулярна двум прямым плоскости , а значит, и самой плоскости. Тогда и прямая , параллельная , перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Проведем в плоскости через точку прямую , перпендикулярную проекции . Тогда по теореме о трех перпендикулярах . По условию , мы показали, что , тогда . Тогда прямые и параллельны и обе проходят через точку . Следовательно, и . Мы только что доказали теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах.