Пусть — точка на ребре такая, что

Обозначим сторону куба через . Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам:

Тогда их гипотенузы тоже равны, то есть .

Далее, и — параллелограммы, так как равен и параллелен , а равен и параллелен . Тогда и — тоже параллелограмм, так как противолежащие стороны попарно равны. Отсюда получаем .

Рассмотрим теперь ситуацию в квадрате . Имеем:

Треугольники и подобны по прямым углам

и отношению прилежащих к ним сторон

Следовательно, их соответствующие острые углы равны:

По сумме углов треугольника имеем:

Тогда найдем угол :

Таким образом, .

Вернемся к нашему кубу. Так как , то — проекция наклонной на плоскость . Мы доказали, что прямая перпендикулярна проекции , следовательно, по теореме о трех перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной . Тогда имеем: