Тема 18. Задачи с параметром
18.09 Алгебра. Метод хорошего/плохого корня
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83762

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

|a(3x+ 1)− 3x2− x|=|x− a|∘6x2−-(3a−-2)x-− a

имеет ровно два решения на отрезке [−2;0].

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

                      -------------
|x− a|⋅|3x +1|= |x− a|⋅∘ (3x+ 1)(2x− a)
(⌊
|||{⌈ |x − a|= 0
   |3x +1|= ∘ (3x-+-1)(2x−-a)
|||(
 (3x+ 1)(2x − a)≥ 0
(|⌊ x= x = a
|||||||     1    1
{|⌈ x= x2 = − 3
||  x= x3 = − a− 1
||||(
 (3x+ 1)(2x − a)≥ 0

Назовем неравенство в системе ОДЗ. Заметим, что x2 ∈ [− 2;0]  и принадлежит ОДЗ, следовательно, при любом a  является решением исходного уравнения на отрезке [− 2;0].

Назовем число хорошим, если оно лежит в отрезке [− 2;0]  и удовлетворяет ОДЗ. В противном случае назовем число плохим. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня на отрезке [− 2;0]  в одном из следующих случаев:

1) x1  — хороший, x3  — плохой;

2) x1  — плохой, x3  — хороший;

3) x = x
 1   3  — хороший;

4) x1 = x2,  x3  — хороший;

5) x3 = x2,  x1  — хороший.

Найдем a,  при которых x1  — хороший:

({                       [     ]
  −2 ≤ a≤ 0      ⇔   a∈  −2;− 1 ∪{0}
( (3a+ 1)a ≥0                 3

Тогда x1  — плохой при

             (     )
a ∈(−∞; −2)∪  − 1;0 ∪ (0;+ ∞)
                3

x3  — хороший при

({
  −2≤ − a− 1≤ 0         ⇔   a ∈[−1;1]
( (− 3a− 2)(−3a− 2)≥ 0

x3  — плохой при

a∈ (−∞;− 1)∪(1;+∞ )

Теперь разберем каждый из пяти случаев.

1) Пересечем a,  при которых x1  — хороший, x3  — плохой:

a ∈[−2;−1)

2) Пересечем a,  при которых x1  — плохой, x3  — хороший:

   (     )
      1
a ∈  −3;0  ∪(0;1]

3) x1 = x3  при      1
a =− 2.  При этом a  x1,x2,x3  хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

4) x1 = x2  при a =− 1.
     3  При этом a  x1,x2,x3  хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

5) x3 = x2  при      2
a =− 3.  При этом a  x1,x2,x3  хорошие. Следовательно, это значение параметрам нам подходит.

Следовательно, ответ

           {  2   1}  [  1 )
a∈ [− 2;− 1)∪  −3;− 2  ∪ − 3;0 ∪ (0;1]
Ответ:

            {      }   [    )
a ∈[−2;−1)∪  − 2;− 1 ∪ − 1;0  ∪(0;1]
               3  2      3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!