Тема 18. Задачи с параметром
18.09 Алгебра. Метод хорошего/плохого корня
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38374

Найдите a  , при которых уравнение

∘x2-−-a2-= ∘3x2−-(3a+-1)x-+-a

 

имеет ровно один корень на отрезке [0;1].

Показать ответ и решение

Уравнение вида √A-= √B-  равносильно системе из A = B  и A≥ 0.  Таким образом, при |x|≥ |a|,  то есть на ОДЗ, получаем

(x − a)(x+ a)= (x − a)(3x− 1) ⇔   (x − a)(2x− 1− a)= 0

 

Получаем два предполагаемых решения x1 = a,       a+ 1
x2 = -2--.

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям: принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке [0;1].  В противном случае, то есть когда не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число плохим.

Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа x1 ⁄= x2  и среди них ровно одно хорошее или когда x1 = x2  — хорошее.

1)
x1  — хорошее, если a∈ [0;1].
2)
x2  — хорошее, если |a+ 1|≥2|a| и a∈ [−1;1].  Решим первое неравенство:
                                          [    ]
a2+ 2a+ 1≥ 4a2  ⇔   3a2− 2a− 1≤ 0  ⇔   a∈  − 1;1
                                             3

Пересекая с a∈ [− 1;1],  получаем    [  1  ]
a ∈ − 3;1 .

Получаем три подходящие нам ситуации:

  • «хорошее+плохое»:

    (
{a ∈[0;1]
(   [  1 ]    ⇔   a ∈∅
 a ∕∈ − 3;1
  • «плохое+хорошее»:

    ({ a ∕∈ [0;1]            [    )
     [    ]    ⇔   a∈  − 1;0
( a∈ − 13;1              3
  • «хорошее+хорошее» и x1 = x2.  Совпадают они при a= 1,  при котором как раз они являются хорошими.
Ответ:

   [     )
a ∈ − 1;0 ∪ {1}
      3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!