Тема 18. Задачи с параметром
18.05 Алгебра. Связь между множествами решений
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44643

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнения

x2+ ax+ 2012= 0  и x2 +2012x+ a= 0

имеют хотя бы один общий корень.

Показать ответ и решение

Если два уравнения имеют общие решения, то система из этих уравнений также имеет решения. Найдем те a  , при которых система

({  2
  x + ax + 2012 =0
( x2+ 2012x+ a =0

имеет решения. Будем рассматривать эту систему как обычную систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Выразим a  из второго равенства и подставим в первое:

({ x2+ ax+ 2012 = 0
                     ⇔
( a= −x2 − 2012x
({  2      2
  x + x(− x − 2012x)+ 2012= 0    ⇔
( a= −x2 − 2012x
(
{ −x3− 2011x2+2012= 0
( a= −x2 − 2012x

Заметим, что x = 1  является решением первого уравнения. Следовательно, это уравнение можно преобразовать следующим образом:

(x− 1)(x2+ 2012x+ 2012) =0   ⇔
⌊
⌈ x= 1
  x2+ 2012x = −2012  ⇔
⌊
  x= 1
||
|⌈ x= x1
  x= x2

где x1, x2  — корни уравнения x2+ 2012x= −2012  (его дискриминант D = 20122− 4⋅2012 > 0  ) Следовательно, x21+ 2012x1 = −2012,  x22+ 2012x2 = − 2012.

Следовательно,

⌊({
||  x= 1
||(( a= − 12 − 2012⋅1 =− 2013
||{ x= x1
|||(       2
||( a= − x1− 2012x1 = 2012
||{ x= x2
⌈(       2
   a= − x2− 2012x2 = 2012

Следовательно, a= − 2013;2012.

Ответ:

a ∈{− 2013;2012}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!