Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Воспользуемся формулой разности логарифмов и приведем уравнение к виду
причем мы имеем ограничение и , что можно записать в виде одного неравенства .
Сделаем замену и исследуем новую переменную. Для этого введем еще одну промежуточную неизвестную
Тогда имеем следующее:
Так как функция – обратная пропорциональность (за исключением случая , который мы сейчас рассмотрим отдельно), то есть – строго монотонная, то каждому значению соответствует не более одного . Функция также является строго монотонной, поэтому каждому будет соответствовать не более одного . Причем можно дополнить: различным соответствуют различные , а различным – различные .
Рассмотрим случаи , и :
- , тогда , график представляет собой убывающую гиперболу, расположенную в 1 и 3 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются и . Следовательно, значениям соответствуют , а им в свою очередь соответствуют .
- , тогда , график представляет собой возрастающую гиперболу, расположенную в 2 и 4 четвертях (относительно своих асимптот), а асимптотами у нее являются и . Следовательно, значениям соответствуют , а им в свою очередь соответствуют .
- , тогда , при . Значению соответствует .
Новое уравнение с является квадратным, то есть может иметь от нуля до двух корней:
Мы ищем те , при которых исходное уравнение имеет два решения, значит, если это , то при нем уравнение должно иметь два положительных корня. Если это , то при нем должно быть два отрицательных корня. А если , то точно должно являться решением (есть другие решения или нет и какие они – нам неважно).
Заметим, что можно преобразовать:
Найденные корни совпадают при и равны . Поэтому это значение параметра нужно исключить. При нам подходят , получаемые из
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!