Тема 18. Задачи с параметром
18.18 Функции. Сумма взаимно обратных
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32970

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

 x   −x   |x   −x   |            (x   −x)
4  +4  + 8|2 +2  − a|+11a< 26+ 2a 2 + 2

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замену t=2x +2−x  , тогда t≥2  как сумма двух взаимно обратных положительных чисел. Тогда t2 = 4x+ 4− x+2  и неравенство примет вид

2                                 2                  2                 2  2
t− 2+ 8|t− a|+ 11a< 26 +2at  ⇔  (t− a) + 8|t− a|− 28+11a− a < 0 ⇔ (|t− a|+4) < a − 11a+ 44

Заметим, что a2− 11a+ 44> 0  при всех a∈ ℝ  .

Рассмотрим две функции y = y = (|t− a|+ 4)2
    1  и y = y = a2− 11a+ 44
    2  .

PIC

Рассмотрим случаи:

1.
a ≥2  . Следовательно, A
 1  должна располагаться ниже прямой y =y
    2  , чтобы неравенство имело решения. Значит, ее ордината должна быть меньше числа  2
a − 11a+ 44  :
                                      ⌊
16 <a2− 11a+44  ⇔   a2− 11a+ 28> 0 ⇒  ⌈ a> 7
                                        2≤a <4
2.
a <2  . Следовательно, A1  должна располагаться ниже прямой y = y2  , чтобы неравенство имело решения, то есть y1(2)< y1  , значит,
(|a − 2|+4)2 < a2− 11a+ 44 ⇔ 8|a − 2|< 24− 7a ⇔
                           (|{   8
7a− 24< 8(a− 2)< 24 − 7a ⇔    a< 3     ⇒   −8< a< 2
                           |(a> −8

Следовательно, − 8< a< 4  и a >7.

Ответ:

 a ∈(−8;4)∪ (7;+∞ )

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!