Тема 18. Задачи с параметром
18.18 Функции. Сумма взаимно обратных
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32962

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

(    √-)x    4      2(    √-)x   2y    y+1   2 √ -
 3 +2 2  + (a +6− 4a )3 − 2 2 + 2  − a ⋅2  + a −  8≤ 0

имеет хотя бы одно решение (x;y)  .

Показать ответ и решение

Заметим, что (3+ 2√2)(3− 2√2)= 1  , следовательно, 3− 2√2 =--1√-
        3+2 2  , следовательно, если t= (3+ 2√2-)x  , z = 2y  , то уравнение равносильно

    4   2     1   2       2  √ -
t+(a − 4a + 6)⋅t + z − 2az+ a − 2 2 |⋅t>0 ≤0 ⇔
p(t)=t2+ ((z− a)2 − 2√2)t+((a2 − 2)2+2)≤ 0

Полученное неравенство должно иметь хотя бы одно решение (t;z)  , где t,z > 0.  Относительно переменной t  неравенство квадратное. Заметим, что если уравнение p(t)=0  имеет решения, то они одного знака, так как произведение корней положительно и равно ((a2 − 2)2+2  .

Следовательно, по свойству квадратичной функции неравенство p(t)≤ 0  имеет решения, если

(||                (||      2  √ -2     2   2
|{D ≥ 0           |{((z − a) − 2 2) ≥ 4((a − 2) + 2)
|||p(0) >0      ⇒   |||(a2− 2)2+ 2√> 0                ⇔
(t(верш ) >0       ((z− a)2− 2 2< 0
(|⌊     2   √-  √ -
|||||⌈ (z− a) − 2√2 ≥ b√-
{  (z− a)2 − 2√-2 ≤− b
||||(z− a)2− 2 2< 0
||(b= 4((a2− 2)2+ 2)

Заметим, что √b≥ 2√2  , то неравенство (z − a)2− 2√2-≥√b  нам не подходит, следовательно, система равносильна

(
{(z− a)2 ≤ −√b-+2√2
(b= 4((a2− 2)2+ 2)

из √b≥ 2√2  следует, что − √b+ 2√2≤ 0  , следовательно, первое неравенство имеет решения тогда и только тогда, когда √b= 2√2  , следовательно, 4((a2− 2)2+ 2)=8  , откуда a= ±√2  . Тогда решением неравенства будут z = a  . Следовательно, z > 0  соответствует a =√2-  .

Ответ:

 a ∈{√2}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!