Задача №52393: Симметрия — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 18. Задачи с параметром

18.28 Симметрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#52393

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

(|{22−2y2 +(|x|− 2)2 = 8 |(21−y2 + x= a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены $y$ на $− y.$ Следовательно, если она имеет единственное решение, то этим решением будет $(x;0).$ Найдем, при каких $a$ у системы есть решение с $y = 0:$

(||⌊ x= −4 ( ( 1−02)2 2 |||||| { 2 + (|x|− 2) = 8 ⇔ {|⌈ x= 0 ⇒ a= −2;2;6. ( 21−02 + x =a ||| x= 4 |||( x = a− 2

Отберем среди найденных значений $a$ те, при которых решение $(x;0)$ — действительно единственное.

1.: Пусть $a =− 2.$ Тогда система примет вид $({(21−y2)2 +(|x|− 2)2 = 8 ({ x2+ 2x− 2|x|= 0 2 ⇔ 2 (21−y + x= −2 ( 21−y = − (x + 2)$
Так как $1 − y2 ∈[0;1],$ то $1−y2 2 ∈ [1;2],$ следовательно, $− (x+ 2)∈ [1;2],$ откуда $x ∈[−4;−3].$ Из первого уравнения системы находим, что $x= −4;0.$ Корень $x= 0$ нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение $(− 4;0).$ Значит, $a= − 2$ нам подходит.
2.: Пусть $a =2.$ Тогда система примет вид $({( 1−y2)2 2 ({ 2 2 2 +(|x|− 2) = 8 ⇔ x −22x− 2|x|= 0 (21−y + x= 2 ( 21−y = − (x − 2)$
Так как $21−y2 ∈[1;2],$ следовательно, $− (x− 2)∈ [1;2],$ откуда $x∈ [0;1].$ Из первого уравнения системы находим, что $x = 0;4.$ Корень $x= 4$ нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение $(0;0).$ Значит, $a= 2$ нам подходит.
3.: Пусть $a =6.$ Тогда система примет вид $(( ) ( { 21−y2 2+(|x|− 2)2 = 8 { x2− 2x− 2|x|= 0 ( 1−y2 ⇔ ( 1−y2 2 + x= 6 2 = − (x − 6)$
Так как $21−y2 ∈[1;2],$ следовательно, $− (x− 6)∈ [1;2],$ откуда $x∈ [4;5].$ Из первого уравнения системы находим, что $x = 4.$ Следовательно, система имеет единственное решение $(4;0).$ Значит, $a= 6$ нам подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−2;2;6}.

Ответ:

$a ∈{±2;6}$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse