Тема 18. Задачи с параметром
18.27 Симметрия
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33287

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система уравнений

({   4
 a(y +3)= x+ 3(1− |y|)
(|x|+ |y|= 3

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Система симметрична относительно замены y  на − y  , следовательно, если она имеет решение (x;y ),
  0 0  она также имеет решение (x0;− y0)  . Единственное решение, не имеющее себе пару — это решение (x0;0)  . Таким образом, система имеет единственное решение, если этим решением является (x0;0)  .

1.
Проверим, при каких a  система имеет решение с y0 = 0  .
                 ⌊({
(                ||  x= 3
{ 3a =x +3    ⇔   ||(( a= 2
( |x|= 3          ||⌈{ x= −3
                  ( a= 0

Следовательно, при a= 0  система имеет решение (− 3;0)  , а при a =2  — решение (3;0)  .

2.
Проверим, при каких a  из найденных найденное решение — единственно.
2.1.
Пусть a= 0  . Тогда система имеет вид
(
{x= 3(|y|− 1)          x               3
(|x|+ |y|= 3     ⇒  |x|+3 = 2  ⇒  x =− 3;2

Видим, что система имеет два решения, следовательно, a= 0  нам не подходит.

2.2.
Пусть a= 2  . Тогда система имеет вид
(
{2(y4 +3)= x+ 3(1− |y|)
(|x|+ |y|= 3

Из второго уравнения следует, что |x|≤3  и |y|≤3  , следовательно, левая часть первого равенства 2y4+ 6≥ 6  , а правая часть x+ 3− 3|y|≤3 +3− 0= 6  . Таким образом, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равенства равны 6  .

(                   (
{2y4+ 6= 6          {y =0
(x+ 3− 3|y|= 6   ⇔   (x = 3

Видим, что a= 2  нам подходит.

Ответ a = 2.

Ответ:

 a ∈{2}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31806

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система уравнений

({
  (ay− ax+ 2)(y− x+ 3a)= 0
( |xy|= a

имеет ровно шесть решений.

Показать ответ и решение

При a≤ 0  система не будет иметь 6 решений, следовательно, рассмотрим a> 0  . Сделаем также замену − y = t  , при которой число решений системы не изменится. Тогда из первого уравнения получим x+ t=3a  или       2
x+ t= a  . Из второго уравнения xt =±a  . Заметим, что если имеется решение (x;t)  , то имеется также решение (t;x)  , которое отлично от первого при x⁄= t  . Решения получаются из следующих четырех систем:

⌊ ({
|  x+ t= 3a
||| (xt= a
|| (
||| {x+ t= 3a
|| (xt= −a
|||
|| ({x+ t= 2
||| (      a
||  xt= a
||| (
|| {x+ t= 2a
⌈ (xt= −a

При     2
3a= a  1-я и 3-я системы одинаковы, 2-я и 4-я также одинаковы. Следовательно, так как каждая система имеет максимум 2 решения, суммарно мы получим максимум 4 решения. Нам это не подходит. Следовательно,    ∘-2
a⁄=   3,a >0  . При этих a  ни у каких двух систем нет ни одного общего решения.

Система подобного вида имеет решения тогда и только тогда, когда квадратное уравнение α2− (x +t)α +xt= 0  имеет решения (по обратной теореме Виета).

Выпишем дискриминанты для 1-й и 2-й систем, для 3-й и 4-й систем:

                           3
D1,2 = a(9a∓ 4) и D3,4 = 4(1a∓2a-)

При a> 0  имеем: D2 =a(9a+4)> 0  ,         3
D4 = 4(1+aa2-)> 0  , причем заметим, что эти системы не имеют общий решений. Следовательно, мы уже имеем 4 решения. Нужно еще два. Значит нам подходят такие варианты: D1 > 0,D3 < 0  ; D1 < 0,D3 > 0  ; D1 = D3 = 0  . Третий случай невозможен, а первые два задаются условием:

                 (  4)
D1⋅D3 <0  ⇒   a∈  0;9 ∪ (1;+∞ )
Ответ:

 a ∈(0;4)∪(1;+∞ )
      9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31814

Найдите все значения параметра a ∈[0;π]
      2 , при каждом из которых система

({   √ -      √-
 |x√+  3y|+ |y −√-3x|= 2sina
(( 3x+ y)2+ ( 3y− x)2 = 4cosa

имеет ровно четыре различных решения.

Показать ответ и решение

Заметим, что левые части равенств неотрицательны, следовательно, и правые должны быть неотрицательны, что выполняется для    [  π]
a ∈ 0;2 .

Преобразуем второе уравнение:

√ -    2  √ -    2
( 3x +y) + ( 3y − x) = 4cosa ⇔
(√3x#+y)2−#4√3xy#+(√3y−#x)2+4√3xy = 4cosa ⇔
############### ###############
(√3x − y)2+ (√3y +x)2 = 4cosa

С помощью таких действий мы добились того, что второе уравнение зависит от тех же двух выражений с x,y  , что и первое уравнение. Система примет вид

(                                (
{|√3x− y|+ |√3y +x|= 2sina          { |m |+ |n|= 2sina
((√3x− y)2 +(√3y+ x)2 =4cosa    ⇒  ( m2+ n2 = 4cosa

где m = √3x− y  , n= √3y+ x  , причем существует биекция между множеством, состоящим из решений (m;n)  , и множеством, состоящим из решений (x;y)  .

Докажем это утверждение. Равенства m = √3x− y  , n= √3y+ x  задают в плоскости xOy  прямые l  и p  соответственно, имеющие фиксированное неравное отношение коэффициентов перед x  и y  . Следовательно, эти прямые не совпадают и не параллельны, то есть пересекаются, значит каждому решению (m; n)  соответствует ровно одно решение (x;y)  . Заметим также, что для двух различных решений (m ;n)
  1  1  (прямые l,p
1 1  ) и (m ;n )
  2  2  (прямые l,p
 2 2  ) получим различные решения для переменных x  и y  . Действительно, так как решения для m  и n  различны, то без ограничения общности можно считать, что как минимум m1 ⁄= m2  , откуда следует, что прямые l1  и l2  параллельны. Следовательно, точки O(x1;y1)= l1∩ p1  и Q(x2;y2)=l2∩ p2  лежат на параллельных прямых l1  и l2  , то есть не могут совпадать.

Значит, существование четырех различных решений для x,y  равносильно существованию четырех различных решений для m, n  . Система

({|m |+|n|=2sina
( 2   2
 m  +n = 4cosa

симметрична относительно m ←→ − m  , относительно n←→ − n  и относительно m ←→ n  . Поэтому любое решение (m;n)  попадет в одну из трех групп:

I группа

содержит решение (m;n)  с условием m ⁄= n  и m,n >0  и 7 его “дубликатов”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно 8α1  , где α1 ∈ℕ ∪{0}
восьмерки решений имеют вид: {(±m;±n),(±n;±m )} ;

II группа

содержит решение (m; n)  , у которого ровно одна из двух координат равна 0  , и 3 его “дубликата”, и решение с условием m = n> 0  и 3 его “дубликата”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно 4α2  , где α2 ∈ ℕ∪ {0}
четверки решений имеют вид: {(0;±n ),(±n;0)} или вид {(±m;±m )} ;

III группа

состоит из единственного решения (0;0;0)  .

Итог: число решений системы равно 8α + 4α + 1⋅α
  1    2     3  , где α ,α ∈ℕ ∪{0},α  ∈{0;1}
 1  2        3 . Чтобы 8α + 4α +1 ⋅α  =4
  1    2     3  , нужно, чтобы α = 0,α = 1,α = 0
 1    2     3  . Значит необходимо, чтобы система имела ровно 4 решения из II группы. Далее в вычислениях естественно будем учитывать, что 0 ≤a ≤ π
       2  .

1 случай.

Без ограничения общности можно считать, что именно m = 0  . Тогда получим

(                      √-                 √-
{|n|=2 sina    ⇒  cosa= -5-− 1 ⇒   a= arccos-5−-1
(n2 =4cosa               2                  2

Имеем решения:
(0;∘2-√5−-2)  ,
(0;− ∘2√5-− 2)  ,
(∘2√5-− 2;0)  ,
(−∘2-√5−-2;0)  .

2 случай.

Если m = n  , то получим

({
 2|n|= 2sina    ⇒   cosa= √2-− 1 ⇒   a= arccos(√2− 1)
(2n2 = 4cosa

Имеем решения ∘ ------∘ ------
( 2√2− 2; 2√2− 2)  ,
  ∘ ------∘ ------
(−  2√2− 2; 2√2− 2)  ,
    ------   ------
(−∘ 2√2− 2;− ∘2√2− 2)  ,
(∘2√2-− 2;−∘2-√2−-2)  .

Ответ:

 a =arccos(√2-− 1);arccos(√5−1)
                      2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31809

Найдите все значения параметра a ∈(0;π)  , при каждом из которых система

(| 2  2                 2
|{x + y − 4(x+ y)sin a+8 sin a= 2sina− 1
||(x + y= 2sina+ 4sin2a
 y   x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что если в каждом уравнении поменять местами x  и y  , то уравнения останутся прежними. Следовательно, система симметрична относительно перемены местами x  и y  . Значит, если у системы есть решение (x0;y0)  , то у нее есть и решение (y0;x0)  . Пара, не дающая новую пару решений, имеет вид (x;x)  , то есть имеет равные координаты x  и y  . Следовательно, если среди решений системы есть решение вида (x;x)  , то решений будет нечетно, если же такой пары нет — решений будет четно.

Значит, нам нужно, чтобы такая пара была решением системы.

1.
Определим, при каких sina =b∈ (0;1]  (так как a∈ (0;π)  по условию) система имеет решение вида (x;x)  :
(|   2       2              (
||{ 2x − 8bx+ 8b =2b− 1      { x= 1
|| 2= 2b+4b2            ⇔   ( b= 1
|( b∈ (0;1]                       2

Это решение (1;1)  , имеющееся у системы при b= 1
   2  .

2.
Определим, имеет ли система еще решения при b= 12  . Причем заметим, что если мы определим хотя бы одно решение, отличное от (1;1)  , то найденное значение b  нам не подойдет. Если же мы докажем, что других решений нет, то b = 12  нам подойдет.

система при b= 1
   2  имеет вид

(
|{ x2+ y2 − 2(x+y)+ 2= 0
|( x + y = 2
  y  x

Второе равенство представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел. Так как такая сумма по модулю не меньше 2  и равна 2  , если оба числа равны 1  , то из второго уравнения следует, что xy = 1  , откуда x = y  . Следовательно, других решений быть не может и b= 12  нам подходит.

Если b= 1
   2  , то sina = 1
      2  , откуда на промежутке (0;π)  получаем углы a = π ;5π.
    6 6

Ответ:

 a ∈{π;5π}
    6  6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#57522

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

x6 − (a− 3)x4+ (a2− 3a)x2+ (a2− 4)(|a2− 1|+a2− 1)= 0

имеет ровно три корня.

Показать ответ и решение

Данное уравнение симметрично относительно замены x  на − x,  следовательно, если x = x0  является его корнем, то и x= −x0  является его корнем. Значит, если среди корней уравнения есть x = −x  ⇔   x = 0,  то уравнение имеет нечетное число решений, в противном случае — четное. Следовательно, чтобы уравнение имело 3 решения, среди его решений должен быть корень x = 0.

Найдем a,  при которых среди корней уравнения есть x= 0.  В этом случае свободный коэффициент левой части должен быть равен нулю:

                              ⌊                       ⌊              ⌊
                               a2 − 4 = 0              a= ±2           a= ±2
C =(a2−4)(|a2−1|+a2 −1)= 0  ⇔   ⌈  2         2      ⇔   ⌈ 2        ⇔   ⌈
                               |a − 1|= −(a − 1)       a − 1≤ 0        −1 ≤a ≤ 1

При этих значениях параметра уравнение примет вид

x2(x4 − (a− 3)x2+ a(a − 3))= 0.

Это уравнение имеет три решения, если многочлен в скобках имеет два корня, отличные от нуля. Рассмотрим многочлен в скобках при найденных значениях параметра.

Проверка a= −2.

Тогда имеем

x4+ 5x2 +10 = 0  ⇔   x∈ ∅.

Значит, a= −2  нам не подходит.

Проверка a= 2.

Имеем

 4   2
x + x − 2= 0  ⇔   x = ±1.

Значит, a= 2  нам подходит.

Проверка − 1≤ a≤ 1.

Имеем

 4        2
x − (a − 3)x + a(a − 3) =0.

Запишем условия, требующие наличия двух неравных нулю решений у этого уравнения.

Пусть t= x2.  Рассмотрим квдратичную функцию

y = t2− (a− 3)t +a(a− 3).

Чтобы исходное уравнение имело два неравных нулю корня, уравнение y = 0  должно иметь ровно один положительный корень. То есть либо оно в принципе имеет один корень и этот корень > 0,  либо оно имеет два корня, причем один > 0,  а второй ≤ 0.

Выпишем дискриминант уравнения y = 0:

D =− 3(a − 3)(a+ 1).

Если y = 0  имеет одно решение, то D = 0,  откуда a = −1;3.  Так как мы рассматриваем только − 1≤ a≤ 1,  то нужно проверить только a = −1.

Тогда корень уравнения записывается в виде

    a−-3
t0 =  2

и при a= − 1  он ≤ 0.  Следовательно, это значение параметра нам не подходит.

Пусть D > 0.  Следовательно, исследуем − 1 <a ≤ 1.  Тогда уравнение y = 0  имеет два корня. Графиком функции y  является парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось Ot  в двух точках. Заметим, что абсцисса вершины параболы

    a− 3
t0 = -2--∈ (−2;−1]

при − 1< a≤ 1.  Следовательно, правая точка пересечения параболы с осью абсцисс будет положительной, если число t= 0  находится между точками пересечения параболы с осью абсцисс.

t00

Это задается условием

y(0)< 0  ⇔   a(a − 3)< 0 ⇔   0 < a< 3.

Пересекая эти a  с − 1 <a ≤ 1,  получаем 0< a ≤ 1.

Следовательно, итоговый ответ

a ∈(0;1]∪ {2}.
Ответ:

a ∈(0;1]∪ {2}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#57517

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{y =(a+ 2)x2+ 2ax+ a− 1
(          2
 x = (a +2)y + 2ay+ a− 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены x  на y,  а y  на x.  Следовательно, если она имеет решение (x;y),  то она также имеет и решение (y;x).  Решение, не имеющее себе пару, это решение вида (x;x)  (то есть решение, у которого x = y  ). Следовательно, если система имеет единственное решение, то у этого решения x = y.  Найдем a,  при которых у системы есть ровно одно решение вида (x;x):

(
{x = (a +2)x2+ 2ax+ a− 1                 2                    2
(x = (a +2)x2+ 2ax+ a− 1    ⇔   x =(a+2)x +2ax+a− 1  ⇔   (a+2 )x + (2a−1)x+a− 1= 0.

Полученное уравнение должно иметь одно решение. Заметим, что при a = −2  это уравнение является линейным и равносильно − 5x − 3 = 0,  и действительно имеет единственное решение. Следовательно, a= − 2  нам подходит.

При a⁄= −2  это уравнение квадратное, следовательно, оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю:

                       9
D = −8a+ 9= 0  ⇔   a = 8.

Следовательно, нам нужно проверить два найденных значения параметра.

Проверка a= −2.

Если a = −2,  система принимает вид

(
{y =− 4x− 3
(x = −4y− 3

Эта система имеет единственное решение. Следовательно, a= −2  — первая часть ответа.

Проверка a= 9.
   8

Если     9
a = 8,  система имеет вид

(||    25 2  9   1
{y = 8 x + 4x+ 8
||    25 2  9   1
(x = 8 y + 4y+ 8

Сложим эти два уравнения. Тогда мы получим уравнение, множество решений которого содержит множество решений данной системы. Полученное уравнение равносильно

       2        2                 1
(5x+ 1) + (5y +1) = 0  ⇔   x =y = −5.

Заметим, что эта пара чисел также является и решением системы. Следовательно, при    9
a= 8  система также имете единственное решение.

В итоге ответ

   {     }
a∈  − 2; 9 .
       8
Ответ:

   {     }
a ∈  −2; 9
        8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#57176

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{ax2 +4ax − y +7a +1 = 0
(  2
 ay  − x − 2ay +4a − 2 = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Система равносильна

(
{ a(x + 2)2− y+ 3a+ 1= 0
(       2
  a(y − 1) − x+ 3a− 2= 0

Сделаем замену x + 2= t,  y− 1= z.  Тогда система примет вид

(
{ at2− z+ 3a =0
( az2 − t+ 3a =0

Так как замена линейная, то количество решений исходной системы и полученной системы совпадают.

Полученная система симметрична относительно замены t  на z,  а z  на t.  Следовательно, если она имеет решение (t;z),  то она также имеет и решение (z;t).  Единственный вид решения, не имеющий себе пару, это решение с t =z.  Следовательно, если система имеет единственное решение, то этим решением является (t;t).

Итак, пусть t= z.  Тогда система равносильна одному уравнению:

 2
at − t+ 3a= 0.

Это уравнение должно иметь одно решение, и тогда у исходной системы точно среди решений будет ровно одно решение вида (t;t).

Если a = 0,  то мы получаем линейное уравнение t= 0,  имеющее одно решение. Если a⁄= 0,  то мы имеем квадратное уравнение, следовательно, оно будет иметь одно решение, если его дискриминант равен нулю:

D = 1− 12a2 = 0  ⇔   a= ± √1-.
                         2 3

Проверка a= 0.

При a= 0  система примет вид

(
{ −z =0     ⇔   (0;0).
( −t= 0

Получили одно решение, следовательно, a = 0  нам подходит.

Проверка       1     √3
a= −2√3-= − -6 .

При      √-
a= − 63  система примет вид

(| √3 2     √3
|{ 6-t + z+ -2-= 0        √3-2    √3 2    √-               √- 2    √ -2
|| √-       √-        ⇒   -6-t+t+ -6 z +z+ 3 =0 (∗)  ⇔   (t+ 3) +(z+  3) = 0.
( -3z2+ t+ -3-= 0
  6         2

(∗)  сложили уравнения системы и получили новое уравнение.

Полученное уравнение имеет одно решение        √ -
t= z = − 3.  А так как это уравнение является следствием системы, то множество решений системы является подмножеством решений полученного уравнения. Видим, что решение t= z =− √3  является также и решением системы. Следовательно, при a = −-1√-
     2 3  система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

Проверка          √ -
a= -1√--= --3.
   2 3    6

При a= √3
    6  система примет вид

( √-       √-
|| -3t2− z+ -3-= 0        √ -     √-
{ 6         2        ⇒   --3t2− t+ -3z2− z+ √3 =0   ⇔   (t−√3-)2+ (z−√3-)2 = 0.
||( √3-2     √3-            6       6
  6 z − t+  2 = 0

Полученное уравнение имеет одно решение        -
t=z = √3.  Видим, что решение t= z =√3-  является также и решением системы. Следовательно, при a = √1-
    2 3  система имеет единственное решение, значит, это значение параметра нам подходит.

Таким бразом, нам подходят все найденные значения параметра и ответ

   {       }
a∈  0;±-1√-- .
       2  3
Ответ:

a ∈{0;± √1-}
        2 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#57171

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{ x2+ y2 = 2
(
  |x − a|+ |y − a|= 2|x+ y|

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно перемены местами x  и y.  Следовательно, если система имеет решение (x;y),  то она также имеет и решение (y;x).  Единственный вид решения, который не имеет себе пару, это тот, у которого абсцисса и ордината одинаковы: (x;y)  при x = y.  Следовательно, система будет иметь нечетное число решений, если она имеет нечетное число решений вида (x;x).  То есть как минимум одно решение такого вида она точно должна иметь.

Найдем a,  при которых у системы есть решение, для которого выполнено x = y :

                                          ⌊({
(                    (                    ||  x= 1
{ 2x2 = 2            { x= ±1              ||(( a= −1;3
( 2|x − a|= 4|x|  ⇔   ( |± 1− a|=2    ⇔    ||{ x= −1
                                          ⌈(
                                             a= −3;1

Проверка a= −3.

При a= −3  система примет вид

(
{ x2+ y2 = 2
(
  |x +3|+ |y +3|= 2|x+ y|

Решим эту систему графически. Графиком первого уравнения является окружность с центром в начале координат (0;0)  и радиусом √ -
  2.

Рассмотрим второе уравнение. Нули подмодульных выражений (это x =− 3,  y = −3  и x =− y  ) разбивают плоскость xOy  на 7 областей, на каждой из которых каждый модуль раскрывается определенным образом. Будем обозначать каждую область как ∗∗∗,  где на месте каждой ∗ стоит знак +  или − ,  обозначающий знак первого, второго и третьего соответственно подмодульного выражения. То есть за +++  мы обозначим область, где x +3 > 0,  y+ 3> 0  и x +y > 0.  Получим:

|------|----------|
|+ + + |y = −x+ 6 |
|+-−-+-|y-=-− 1x--|
|------|-----3----|
|+-−-−-|y-=-−3x---|
|−-−-−-|y-=-−x+-6-|
|−-+-−-|y-=-− 13x--|
|− + + |y = −3x   |
|+-+-−-|y-=-−x−-2-|
------------------|

xyxxy+++−−−+K−1−111++++−−−+++y33++−−−+−=== 000

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют только одну общую точку — это точка K  — точка касания прямой y = − x− 2  (в области ++ − ) с окружностью. Следовательно, система имеет единственное решение при a = −3.  Значит, это значение параметра нам не подходит.

Проверка a= 3.

При a= 3  система примет вид

({  2   2
  x + y = 2
( |x − 3|+ |y − 3|= 2|x+ y|

Если сделать замену − x = t,  − y = z,  то мы получим систему

(
{t2+ z2 = 2
(
 |t+3|+ |z +3|= 2|t+z|

Получили такую же систему, как и в случае проверки a = −3.  Следовательно, при a= 3  система также имеет единственное решение, значит, a= 3  нам тоже не подходит.

Проверка a= −1.

При a= −3  система примет вид

(
{ x2+ y2 = 2
(
  |x +1|+ |y +1|= 2|x+ y|

Поступим аналогично: решим систему графически.

|------|----------|
|+-+-+-|y-=−-x+-2-|
|+-−-+-|y-=−-13x---|
|+-−-−-|y-=−-3x---|
|− − − |y =− x+ 2 |
|−-+-−-|y-=−-1x---|
|------|-----3----|
|−-+-+-|y-=−-3x---|
-+-+-−--y-=−-x−-23-|

xyxxy+++−−−+KAB11 ++++−−−+++y11++−−−+−=== 000

Видим, что графики первого и второго уравнений системы имеют три общие точки — это точки A,  B  и K.  Следовательно, система имеет 3 решения при a = −1.  Значит, это значение параметра нам подходит.

Проверка a= 1.

При a= 1  система примет вид

({ x2+ y2 = 2

( |x − 1|+ |y − 1|= 2|x+ y|

Если сделать замену − x = t,  − y = z,  то мы получим систему

(
{t2+ z2 = 2
(|t+1|+ |z +1|= 2|t+z|

Получили такую же систему, как и в случае проверки a = −1.  Следовательно, при a= 1  система также имеет 3 решения, значит, a= 1  нам тоже подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−1;1}.
Ответ:

a ∈{− 1;1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#57170

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

x4− x2+ |a√x|+ a3− a2 − 2a = 0
        3 3

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Данное уравнение симметрично относительно замены x  на − x.  Следовательно, если x = x0  — корень этого уравнения, то также x= −x0  — корень этого уравнения. Единственный корень, не имеющий себе пару, это x = −x  ⇔   x = 0.  Следовательно, если среди корней уравнения есть x= 0,  то уравнение имеет нечетное число корней, если же среди корней уравнения нет x= 0,  то количество корней уравнения четно.

Значит, чтобы у уравнения было 3 решения, необходимо, чтобы x = 0  являлся корнем уравнения.

Пусть x = 0.  Тогда уравнение примет вид

a3− a2− 2a= 0  ⇔   a= − 1;0;2.

Проверка a= 0.

При a= 0  уравнение примет вид

x4− x2 = 0 ⇔   x= 0;±1.

Уравнение имеет 3 решения, следовательно, a = 0  нам подходит.

Проверка a= −1.

При a= −1  уравнение примет вид

 4   2  -|x|-
x − x + 3√3 = 0 (∗)

Если уравнение

x3− x= − -1√--
         3 3

имеет одно решение при x >0,  то уравнение (∗)  имеет три решения, и тогда a = −1  нам подходит. В противном же случае это значение параметра нам не будет подходить. Следовательно, исследуем уравнение

x3− x= − -1√--
◟=◝◜f(x◞)    3 3

при x > 0.  Производная f′(x) =3x2− 1  равна нулю при x = ±√1-.
       3  Следовательно, при x> √1-
     3  производная положительна, то есть y = f(x)  возрастает; при        -1
0 < x< √3  производная отрицательна, то есть y = f(x)  убывает. Так как

f(0)= 0,
 (   )
f  1√-- = − √2-,
    3      3 3

то график функции y = f(x)  выглядит следующим образом:

 12   1
xyyy−√ = =33√f−3(x3√)3

Видим, что график функции y = f(x)  имеет с горизонтальной прямой      -1√-
y = −3 3  две точки пересечения при x >0.  Следовательно, уравнение (∗)  имеет 5 решений. Значит, a= −1  нам не подходит.

Проверка a= 2.

При a= 2  уравнение примет вид

 4   2    2√|x|-
x − x = − 3 3  (∗∗).

Будем рассуждать аналогично предыдущей проверке. Рассмотрим уравнение

x3− x= − -2√--
         3 3

и посмотрим, сколько корней оно имеет на проемтужке x> 0.  Функцию y = f(x)  мы уже исследовали, и по рисунку видно, что точек пересечения у графика этой функции с прямой       2
y = −3√3  на x > 0  ровно одна.

xyyy−√ = =1323√f−3(x3√)23

Следовательно, уравнение (∗∗)  имеет 3 решения, значит, a= 2  нам подходит.

Следовательно, ответ

a ∈{0;2}.
Ответ:

a ∈{0;2}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#56942

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

4a2x4+ (2a− 8)x2 +a +|a|= 0

имеет ровно три решения на промежутке (−1;1]  .

Показать ответ и решение

Уравнение симметрично относительно замены x  на − x.  Следовательно, если уравнение имеет решение x= x0,  то оно также имеет и решение x = −x0.  Единственное решение, не имеющее себе пару, это x= −x   ⇔   x= 0.  Следовательно, уравнение имеет 3 решения на промежутке (−1;1]  в одном из двух случаев:

∙ x= 0;x0,− x0  — решения уравнения, где x0 ∈ (0;1);

∙ x= 1;x;− x
      0   0  — решения уравнения, где x ∈ (0;1).
 0

Пусть x = 0.  Тогда уравнение примет вид

a+ |a|= 0  ⇔   a ≤0.

Пусть x = 1.  Тогда уравнение примет вид

                       ⌊
  2                    | a= 1
4a + 3a+ |a|− 8= 0  ⇔   |⌈      1+ √33
                         a= − --4----

Проверка a= 1.

Тогда уравнение примет вид

  4   2                     1--
4x − 6x +2 = 0  ⇔   x= ±1;± √2.

Следовательно, на промежутке (−1;1]  уравнение действительно имеет 3 решения, значит, a= 1  нам подходит.

Проверка     1 +√33-
a= −---4---.

Если         √ --
a = − 1-+-33,
        4  то                    √--
4a2 =8 − 2a = 8+ 1+-33.
                   2

Тогда уравнение примет вид

(8 − 2a)x4+(2a− 8)x2+ a− a = 0 ⇔  (8− 2a)x2(x2− 1)= 0 ⇔   x= 0;±1.

Следовательно, на промежутке (− 1;1]  уравнение имеет 2 решения, значит, это a  нам не подходит.

Проверка a≤ 0.

Тогда уравнение примет вид

                                                  ⌊
  24         2               2  2 2                 x= 0
4ax + (2a− 8)x+a − a= 0  ⇔   x (2a x +a − 4)= 0 ⇔   ⌈  2 2
                                                    2ax  =4 − a

Если a = 0,  то уравнение имеет 1 решение, следовательно, a= 0  нам не подходит. Пусть a< 0.  Тогда уравнение будет иметь 3 решения на проежутке (−1;1],  если

x2 = 4−-a ∈(0;1).
     2a2

Учитывая, что a < 0,  получаем

     1+ √33-
a < −---4---.

Следовательно, исходное уравнение имеет 3 решения на промежутке (−1;1],  если

             √--
   (      1+--33)
a∈  − ∞;−   4     ∪{1}.
Ответ:

a ∈(− ∞;− 1+√33) ∪{1}
            4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#56941

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{ 2lny =4|x|
(      42    2            22
  log2(xy  +2a )= log2(1− ax y)+ 1

имеет единственное решение. Найдите это решение.

 

ФИПИ

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены x  на − x.  Следовательно, если система имеет решение x= x0,  то она также имеет и решение x = −x0.  Единственное решение, не имеющее себе пару, это x= −x   ⇔   x= 0.  Следовательно, если система имеет единственное решение, то этим решением должен быть x = 0.

Найдем a,  при которых у системы есть решение x= 0.  Пусть x= 0:

(
{2lny = 40
(         2                  ⇔
 log2(0+ 2a )= log2(1 − 0)+ 1
({y = 1

(a = ±1

Таким образом, при a= ±1  у системы точно есть решение (0;1).  Проверим, есть ли другие решения у системы при найденных значениях параметра a.

Проверка a= −1.

Если a = −1,  то система примет вид

(
{ 2lny =4|x|
(      42              2 2           ⇔
  log2(xy  +2)= log2(1+ x y) +log22
({ ln y = 2|x|
                      ⇔
( x4y2+ 2= 2+ 2x2y2
({
  ln y = 2|x|        ⇔
( x2y2(x2− 2)= 0
⌊ (
| {x = 0
|| (y = 1
|| ({     √ -
|⌈  x = ±√-2
  (y = e2 2

Видим, что система имеет три решения, следовательно, a= −1  нам не подходит.

Проверка a= 1.

Если a = 1,  то система примет вид

(
{ 2lny =4|x|
(      42              2 2           ⇔
  log2(xy  +2)= log2(1− x y) +log22
({ ln y = 2|x|
                      ⇔
( x4y2+ 2= 2− 2x2y2
({
  ln y = 2|x|        ⇔
( x2y2(x2+ 2)= 0
(
{ x= 0
( y = 1

Таким образом, при a= 1  система действительно имеет единственное решение. И это решение (0;1).  Следовательно, ответ

a∈ {1}.
Ответ:

a ∈{1};(x;y)= (0;1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#56940

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

(a− x− sinx)(x− sin(a− x)) = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим левую часть как функцию f(x).  Заметим, что

f(a− x)= (a− a+ x− sin(a− x))(a− x − sin(a − a +x))= f(x).

Следовательно, если уравнение имеет решение x = x0,  то оно также имеет и решение x= a− x .
       0  Единственное решение, не имеющее пару, это решение, при котором x = a− x,  то есть решение    a
x= 2.  Следовательно, уравнение имеет единственное решение, если этим решением будет x = a.
    2

Пусть x = a.
    2  Тогда уравнение примет вид

( a     a)(a     a)             a  a
  2 − sin 2 2 − sin2  = 0  ⇔   sin 2 − 2 = 0.

Рассмотрим функцию g(x)= sin x− x.  Производная этой функции g′(x) =cosx− 1 ≤0  при всех x ∈ ℝ.  Следовательно, функция убывает. Значит, уравнение g(x)= 0  имеет не более одного корня. Подбором находим, что корнем уравнения sinx− x =0  является x= 0.  Следовательно,

   a  a          a
sin 2 − 2 = 0 ⇔   2 = 0  ⇔   a= 0.

Итак, при a= 0  исходное уравнение имеет нечетное число решений, среди которых есть единственное решение x = a= 0.
    2  Проверим, есть ли у этого уравнения кроме решения x= 0  другие решения. Пусть a = 0.  Тогда уравнение примет вид

(−x − sinx)(x − sin(− x)) =0   ⇔   sinx+ x = 0.

Аналогично рассмотрим функцию h(x)= sin x+ x.  Ее производная  ′
h (x) =cosx +1 ≥0.  Следовательно, функция h(x)  возрастает. Следовательно, уравнение h(x)= 0  имеет не более одного корня. Подбором находим, что x = 0  является решением этого уравнения.

Таким образом, мы показали, что при a = 0  у исходного уравнения нет других решений, кроме x= 0.  То есть это уравнение имеет единственное решение. Следовательно, ответ

a∈ {0}.
Ответ:

a ∈{0}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#56548

Найдите все такие пары параметров (a;b)  , при каждой из которых уравнение

                                    (      )
|x − sin2a|+|x+ cos24a − 2 sina⋅cos44a|= b a+ 3π
                                          2

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Уравнение имеет вид |x − A |+|x− B|= C  (A = sin2a,  B = − cos24a+ 2sin a⋅cos44a  ). Данное уравнение симметрично относительно замены x− A  на x − B.  Следовательно, уравнение может иметь единственное решение, если x− A = x− B,  то есть при A = B.  Значит,

  2       2            4           2      4            2
sin a= − cos4a+ 2sina⋅cos 4a   ⇔   sin a− 2cos 4a ⋅sina+ cos 4a= 0

Рассмотрим это уравнение как квдаратное относительно sina.  Тогда его дискриминант равен D = 4cos24a(cos64a− 1)≤ 0.  Следовательно, уравнение имеет решения только в том случае, если D = 0.  Тогда

(
{ 4cos24a(cos64a− 1)= 0            π-
(         4              ⇔   a = 2 + 2πn,n∈ ℤ
  sina= cos 4a

Проверка.

При    π-
a= 2 + 2πn  имеем

|x − 1|+ |x + 1− 2|=2πb(1+ n) ⇔   |x − 1|= πb(1+ n)

Это уравнение имеет единственное решение, если правая часть его равна нулю, следовательно, при

⌊                  ⌊    π-
 b= 0;n∈ ℤ         || a= 2 +2πn,n ∈ℤ;b = 0
⌈n = −1;;b ∈ℝ   ⇒   ⌈     3π
                     a= −-2 ,;b∈ ℝ
Ответ:

(a;b) ∈{(π + 2πn;0);(− 3π;t)},n∈ ℤ,t∈ ℝ
        2            2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#56543

Найдите все значения параметров a  и b  , при которых система

(
||{arctg-y⋅ xy-− 1 = a
  x2+ 1 xy +1
||((y2− 1)2 +b =x

имеет ровно 5 различных решений.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены y  на − y.  Действительно, во втором уравнении    2   2
(− y) = y.  Левая часть первого уравнения при подстановке вместо y  выражения − y  не меняется:

arctg(−y) x− y − 1 − arctgy  1− xy  arctgy  xy − 1
-x2-+1--⋅x−-y +-1 =-x2+-1-⋅ 1+-xy = x2-+1-⋅xy +-1.

Таким образом, если система имеет решение (x;y),  то она также имеет и решение (x;−y).  Эти решения совпадают, если y = − y,  то есть при y = 0.  Следовательно, все решения, которые могут быть у системы, кроме решения (x;0),  разбиваются на пары: (x;y)  и (x;−y).  Таким образом, у системы может быть нечетное число решений только в том случае, если у нее нечетное число решений вида (x;0).  Следовательно, как минимум, система должна иметь решение, где y =0.

Найдем те a  и b,  при которых у системы есть нечетное число решений вида (x;0).  Пусть y = 0 :

(|                (|
||{ 0= a           ||{ a= 0
| 1+ b= x    ⇔   | x= b+ 1
||( x> 0           ||( x> 0

Следовательно, данная система будет иметь единственное решение x> 0,  если b+ 1 >0,  откуда b> −1.  Значит, при a = 0,  b> −1  исходная система имеет нечетное число решений (среди которых ровно одно решение с y = 0  ). Отберем такие пары a  и b,  при которых решений у системы не просто нечетно, а именно пять.

Пусть a = 0,  b> −1.  Тогда исходная система примет вид

                                                  ⌊(
                         ⌊ (|                      ||||{ y = 0
(                        | ||{arctgy = 0             ||  x= b+ 1
||{ arctgy⋅ xy-− 1 = 0      ||| |x >0                  ||||||(
  x2+ 1 xy +1        ⇔   || ||((y2− 1)2+ b= x     ⇔   ||( x> 0
||((y2− 1)2 +b =x           || (                      ||||| x= 1
                         |⌈ {xy = 1                ||{
                           ((y2− 1)2+ b= x         |⌈||| y ∈ ℝ
                                                   ( (y2 − 1)2 = 1− b

Первая система имеет одно решение (b+ 1;0).  Определим, при каких значениях параметров вторая система имеет четыре решения. Значит, она должна иметь четыре решения относительно переменной y.  Следовательно, уравнение (y2− 1)2 = 1− b  должно иметь четыре решения. Это уравнение в принципе будет иметь решения, если 1− b≥ 0,  то есть если b ≤1.  Тогда уравнение преобразуется в совокупность из двух уравнений

⌊
  y2 = 1+ √1−-b
⌈  2     √----
  y = 1−  1− b

Значит, b  должно быть таким, чтобы каждое из этих двух уравнений имело два решения, причем решения одного уравнения не совпадают с решениями второго. Значит, нужно:

(| 1+ √1−-b⁄= 1− √1-−-b
||{    √----
| 1+  1− b> 0            ⇔   0< b< 1.
||( 1− √1−-b> 0

Таким образом, при a= 0  и b ∈(0;1)  исходная система имеет 5 решений.

Ответ:

a ∈{0};b∈ (0;1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#55008

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

  (      )
sin  -πx-- + -----6a(----) + a2+ 3= 0
    1+ x2   2 +tg2  x2−1-
                     x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что по ОДЗ x⁄= 0,  следовательно, уравнение можно привести к виду

  ( --π--)  -----6a-----   2
sin  x+ 1x  + 2 +tg2(x− 1x) +a + 3 =0

Заметим, что уравнение симметрично относительно замены x  на 1.
x  Следовательно, если некоторый x= x0  является решением уравнения, то и     1-
x = x0  является решением этого уравнения. Эти решения будут совпадать, если x = 1.
    x  То есть при x ± 1.

Следовательно, если уравнение имеет единственное решение, то этим решением должен быть x= 1  или x = −1.  Найдем те a,  при которых среди решений уравнения точно есть x= 1,  а затем то же самое сделаем для x = −1.

Пусть x = 1.  Тогда уравнение примет вид

  π      6a
sin-2 + 2+-tg20 + a2+ 3= 0 ⇔  a2 +3a+ 4 =0   ⇔   a∈ ∅.

Значит, ни при каких a  уравнение не может иметь корень x= 1.

Пусть x = −1.  Тогда

  (   )
sin  − π + --6a---+ a2+ 3= 0  ⇔   a2+ 3a+ 2= 0  ⇔   a = −2;−1.
     2    2+ tg2 0

Теперь нужно проверить, действительно ли при найденных a  корень x = −1  — единственный.

Проверка a= −2.

Если a = −2,  то уравнение примет вид

sin -π-1-− -----12(----1)-+ 7= 0  ⇔
   x+ x   2+ tg2 x− x
sin -π---+7 = -----12(----)  по методу оценки ⇔
◟--x+◝◜1x--◞   2◟+-tg2◝x◜-−-1x◞
   ∈[6;8]          ∈(0;6]
(   --π--
||{sinx+ x1+ 7= 6
|      12            ⇔
|( 2+-tg2(x-−-1) = 6
(     π     x
||{sinx+--1= −1
   (   x )        ⇔
||(tg  x− 1  = 0
(       x
||{ -π-1-= − π-+ 2πn,n ∈ ℤ
  x+ x    2               ⇔
||(x − 1 =πk,k ∈ℤ
(    x
||{x + 1 = -11---,n ∈ℤ
     x   −2 +2n          ⇔
||(x − 1 =πk,k ∈ℤ
(    xπ      1
||{x = 2k + −1+-4n-
|                    n,k ∈ ℤ
|( 1= ---1---− π-n
  x  − 1+ 4n   2

Выразим x  из второго уравнения и приравняем его с x  из первого уравнения. Получим

                             (       )
πk+ ---1---= -----1----  ⇔     ---1--- 2− 1= (πk)2 .
2   − 1+ 4n    −11+4n-− π2n        −1+ 4n         2

Данное равенство верно лишь при k = 0,  так как правая часть представляет собой рациональное число, умноженное на π,  а левая — рациональное число. Следовательно, равенство возможно только тогда, когда в правой части рациональное число, которое умножается на π,  равно нулю.

Из равенства k = 0  следует n= 0.  Таким образом, мы получаем, что решением системы является лишь x= −1.  Значит, a =− 2  нам подходит.

Проверка a= −1.

Если a = −1,  то уравнение принимает вид

   -π---     -----6------
sin x+ 1x +4 = 2+ tg2(x − 1x)  ⇔
◟--∈◝[◜3;5]--◞  ◟---∈◝(0◜;3]---◞
(     π
|{ sinx-+-1= − 1
|  (    x)        ⇔   x= −1.
( tg x − 1x = 0

Получили ту же систему, что и в первой проверке, следовательно, она решается так же и ее решением также будет единственный корень x = −1.  Значит, и a = −1  нам подходит.

В итоге, ответ

a∈ {−2;−1}.
Ответ:

a ∈{− 2;− 1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#54851

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(|{3x+ 31x = (a2 − 1)2+ y2+ 6

|(|y|z4+ 2z2− 4a2z +a + 3= 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Данная система симметрична относительно замены y  на − y,  а также относительно замены x  на 1
x.  Следовательно, если система имеет решение (x;y;z),  то она также имеет 3 решения (x;−y;z),  (1    )
 x;y;z и (1     )
 x;−y;z .  Эти решения будут совпадать (и тогда решение может быть единственным), если y = −y  и x = 1x.  То есть либо при x = 1  и y = 0,  либо при x =− 1  и y = 0.  Проверим оба этих случая.

1.
Пусть x =1  и y = 0.  Тогда система имеет вид:
({ 6= (a2− 1)2+ 6             ({a =±1
                        ⇔                          ⇔
( 2z2− 4a2z+ a+ 3 =0        (2z2− 4a2z + a+ 3= 0
⌊ ({
|  a =1                 (
|| (2z2− 4z+ 4= 0        { a= − 1
||| ({                 ⇔   (
⌈  a =− 1                 z = 1
  (2z2− 4z+ 2= 0
2.
Пусть x =− 1  и y = 0.  Тогда система примет вид
(
{2 = (a2 − 1)2+ 6
(3 2    2
 2z − 4az + a+ 3= 0

Первое уравнение системы не имеет решений, так как правая часть ≥ 6.  Следовательно, в этом случае мы не получаем ни одного значения параметра a.

Таким образом, нам нужно проверить значение a = −1.

Проверка

Пусть a = −1.  Тогда система примет вид

({  x   1x   2                 ({ x   1x    2
  3 + 3 = y + 6          ⇔    3 + 3  = y +6
( |y|z4+ 2z2 − 4z+ 2 =0        (|y|z4+ 2(z − 1)2 = 0

Второе уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных выражений |y|z4  и 2(z− 1)2.  Эта суммаравна нулю в том и только в том случае, если оба выражения равны нулю. Следовательно, получаем

(|||y|z4 = 0              (||x = 1
|{                      |{
|z − 1 = 0         ⇔   |y = 0
||(3x+ 31x = y2+ 6        ||(z = 1

Таким образом, мы получили, что при a= − 1  система действительно имеет единственное решение. Следовательно, ответ

a ∈{− 1}.
Ответ:

a ∈{− 1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#54850

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
||x7+ (4− x)7 = 2y7
|{      2       2   2   2
||(x− 2) + (y − 2) + z + a = 9
|(6yz2− (a− 3)y2z+ 6= 2a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть x= 2+ t,  тогда 4− x =2 − t.  Следовательно, система примет вид

(|      7       7    7
||{ (2 +t) + (2 − t) = 2y
| t2+ (y− 2)2 +z2+ a2 = 9
||( 6yz2− (a− 3)y2z +6 = 2a

Так как мы совершили линейную замену, то полученная система также должна иметь ровно одно решение.

Заметим, что полученная система симметрична относительно замены t  на − t.  Следовательно, если система имеет решение (t;y;z),  где t⁄= 0,  то она также имеет второе решение (−t;y;z).  Значит, единственным решением системы может быть только решение вида (0;y;z).

Найдем те a,  при которых решениями системы будут те тройки (t;y;z),  в которых t= 0.

Если t =0,  то система примет вид

(|   7    7                    (|
||{2 ⋅2 = 2y                     ||{ y = 2
|(y− 2)2+ z2+a2 = 9       ⇔   | z2+ a2 = 9
||(   2        2                ||(   2
 6yz − (a− 3)y z+ 6= 2a          6z − 2(a − 3)z− (a− 3)= 0

Из второго уравнения выразим z2 = 9− a2  и подставим в третье уравнение:

                                 ⌊(                      ⌊ (
                                  { a− 3= 0                {a = 3
                                 ||(                      || (
6(a− 3)(a+3)+2(a−3)z+ (a− 3)= 0  ⇔   |⌈  z ∈ ℝ            ⇔   |⌈  z ∈ℝ
                                  6(a+ 3)+ 2z+ 1= 0        z = − 6a-+19
                                                                  2

Тогда при a= 3  получаем

({ z ∈ ℝ
                  ⇔   z = 0.
( z2 = 9− a2 = 0

Если z = − 6a+219,  то получаем

       2
(6a-+-19)-+ a2 = 9 ⇔   40a2+ 228a+ 325= 0
   4

Дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно не имеет решений.

Значит, единственное значение a,  которое нужно проверить, это a= 3.

Проверка

Пусть a = 3.  Тогда система примет вид

(|      7       7    7        (|
||{ (2 +t) + (2 − t) = 2y        ||{t= 0
| t2+ (y− 2)2 +z2 =0       ⇔   |y =2
||( 6yz2 =0                     ||(z =0

Следовательно, система действительно имеет единственное решение при a =3.  Значит, ответ:

a∈ {3}.
Ответ:

a ∈{3}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#54849

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(
{ 1− ∘|x−-1|= ∘7|y|
(   2   2
  49y  +x + 4a =2x − 1

имеет ровно четыре различных решения.

Показать ответ и решение

Систему можно переписать в виде

(
{ ∘|x−-1|+ ∘7|y|= 1
(      2      2
  |x − 1| + (7|y|) = −4a

Сделаем замену x − 1= t,  7y = z.  Так как замена по обеим неизвестным линейная, то новая система

( ∘ -- ∘ --
{   |t|+  |z|= 1
( 2   2
  t +z  =− 4a

также должна иметь ровно четыре различных решения.

Заметим, что система симметрична относительно замены t  на − t,  z  на − z,  и перемены местами неизвестных t  и z.

Это значит, что если система имеет решение (t;z),  где t⁄= 0,  z ⁄= 0,  то система имеет еще 7 решений: (−t;z),  (− t;− z),  (t;−z),  (z;t),  (− z;t),  (−z;−t),  (z;− t).  Если есть решение (t;z),  где t= z,  то есть решение (t;t),  то система имеет еще 3 решения: (−t;t),  (−t;−t),  (t;−t).  Если же система имеет решение (t;0),  то есть еще 1 решение (0;t);  если есть решение (0;z),  то есть еще 1 решение (z;0).

Следовательно, система будет иметь ровно четыре различных решения, если выполняется одно из следующих условий: она имеет

∙ одно решение (t;t),  где t⁄= 0,  дающее еще 3 решения;

∙ два решения вида (t;0)  или (0;z),  где t⁄= 0  и z ⁄= 0,  каждое из которых дает еще 1 решение.

1.
Пусть t= z.  Тогда система примет вид
({  ∘--            (|{    1
  2 |t|= 1     ⇔    |t|= 4
( 2t2 = − 4a       |(t2 = −2a

Полученная система имеет решение, если

− 2a= -1  ⇔   a = −-1.
      16           32
2.
Пусть t= 0.  Тогда система примет вид
(
{∘ |z|= 1
( 2
 z  =− 4a

Эта система имеет решение, если

                 1
−4a= 1  ⇔   a = −4.
3.
Пусть z =0.  Тогда мы получим систему, аналогичную предыдущему случаю, только с переменной t.  Следовательно, здесь мы получим то же значение параметра a = − 1.
     4

Теперь необходимо выполнить проверку: действительно ли при найденных значениях параметра выполняются наши условия.

Проверка значения      -1
a = −32.

Система имеет вид

(
|{ ∘ |t|+∘ |z|= 1

|( t2 +z2 = 1
          8

Сделаем замену ∘ |t|= cos2φ,  ∘ |z|= sin2φ,     [   ]
φ∈  0; π-.
      2  Тогда первое уравнение системы выполняется для всех φ.  Следовательно, из системы получается одно уравнение:

cos8φ + sin8φ = 1  ⇔
              8             1
(cos4φ+ sin4φ )2− 2sin4φcos4 φ= 8   ⇔
   2      2  2     2    2  2     4    4    1   -|     2    2
((cos φ+ sin φ) − 2sin φ cos φ) − 2sin φ cosφ = 8,  -p = sin φcos φ  ⇒
      2    2  1
(1 − 2p) − 2p = 8 ⇔
16p2 +32p+ 7 =0  ⇒
   1
p= 4  (второй корень отрицательный, то есть нам не подходит) ⇒
  2    2    1
sin φ cos φ = 4  ⇔
sin22φ = 1  ⇔

sin2φ = ±1  ⇔
φ= π-+ πn,n ∈ ℤ.
    4  2

Так как    [  π]
φ ∈ 0;2  ,  то     π-
φ = 4.

Следовательно, мы получаем, что ∘ |t|= ∘ |z|= 1,
            2  откуда |t|=|z|= 1.
         4

 

То есть система имеет четыре решения: ( 1 1)
  4;4 ,  (  1 1)
 − 4;4  ,  (  1   1)
 − 4;− 4 ,  (     )
 1   1
 4;− 4 .  Значит,      -1
a =− 32  нам подходит.

Проверка значения a = − 1.
     4

Система примет вид

({ ∘ -- ∘ --
    |t|+  |z|= 1
( t2 +z2 =1

Поступим аналогично предыдущей проверке. Получим уравнение

   8     8
cos φ+ sin φ = 1  ⇒
p(p+ 2)= 0  ⇒

p= 0  (второй корень отрицательный, то есть нам не подходит) ⇒
sin2φ= 0  ⇔
φ = πn,n ∈ℤ.
    2

Тогда получаем φ = 0  или     π
φ = 2.  Откуда получаются 4 решения: (1;0),  (−1;0),  (0;1),  (0;− 1).  Значит, a =− 1
     4  нам также подходит.

Следовательно, итоговый ответ:

   {  1   1 }
a ∈  −4;− 32 .
Ответ:

a ∈{− 1;−-1}
      4  32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#52394

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых неравенство

|         |
||x2+-ax+-1||≥ 3
| x2+ x+ 1|

имеет единственное решение. Найдите это решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что x= 0  не является решением неравенства, так как неравенство примет вид |1|≥ 3.  Следовательно, неравенство можно привести к виду

|||x+-1x +-a|||
|x+ 1x + 1|≥ 3.

Заметим, что неравенство симметрично относительно замены x  на 1x.  Следовательно, неравенство будет иметь единственное решение, если этим решением будет один из корней уравнения    1
x= x,  то есть один из x = −1  или x = 1.  Причем, например, если x= − 1  — решение неравенства, то при всех x ⁄= −1  должно быть выполнено ||x+1+a||
|x+x1x+1| <3.  Отсюда следует, в силу непрерывности левой части в точке x= −1,  что при x =− 1  значение выражения |     |
||x+x1+1a ||
x+x+1 должно быть равно 3.  Аналогично для x =1.

Подставим x = −1:

|    |
||2+-a||
|2+ 1|= 3  ⇔   a = −11;7.

Подставим x = 1:

||−2 +a||
||−2-+1|| =3   ⇔   a= −1;5.

Проверим, при каких a  из найденных действительно при всех x⁄= x0,  где x0  — корень |     |
||x+-1x1+a||= 3
 x+ x+1  , значение левой части < 3.  Только эти a  нам подойдут.

Рассмотрим функцию          1
g(x)= x+ x.  Она представляет собой сумму двух взаимно обратных чисел, следовательно, принимает значения, по модулю не меньшие 2.  Рассмотрим также функцию

      |    |
f(g)= |||g+-a|||,
       g+ 1

определенную при |g|≥ 2.

1.
Пусть a =− 11.  Тогда имеем f(g(1))= 3.  Так как g(1)= 2,  то проверим, действительно ли при всех g ⁄=2  имеем f(g)< 3.  Найдем f(− 2)= 13.  Следовательно, необходимое нам неравенство не выполнено, значит. a= −11  нам не подходит.
2.
Пусть a = 7.  Тогда имеем f(g(1))= 3.  Аналогично найдем f (− 2) =5.  Следовательно, неравенство f(g)< 3  не выполнено при всех g ⁄= 2.  Значит, a= 7  нам также не подходит.
3.
Пусть a= − 1.  Тогда f(g(−1))= 3,  причем g(−1)= −2.  Тогда проверим, выполняется ли f(g)< 3  при всех g ⁄= − 2.  Имеем f(2)=  13.  Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию f  подробнее:
     ||     2 ||
f(g)= ||1− g+-1||.

Изобразим ее график. Это гипербола − 2
  g  , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что f  определена при |g|≥ 2.

gy21323

Видим, что действительно при всех g ⁄= − 2  имеем f < 3.  Следовательно, a= −1  нам подходит.

4.
Пусть a= 5.  Тогда f(g(− 1))= 3,  причем g(− 1)= −2.  Тогда проверим, выполняется ли f(g)< 3  при всех g ⁄= − 2.  Имеем f(2)=  73.  Пока противоречий нет. Рассмотрим функцию f  подробнее:
     ||     4 ||
f(g)= ||1+ g+-1||.

Изобразим ее график. Это гипербола 4
g  , сдвинутая на 1 влево и на 1 вверх, а затем та часть, что находится ниже оси абсцисс, отражена наверх относительно оси абсцисс. Напомним, что f  определена при |g|≥ 2.

gy27323

Видим, что действительно при всех g ⁄= − 2  имеем f < 3.  Следовательно, a= 5  нам подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−1;5}.

Решение неравенства при обоих найденных a  — это x= −1.

Ответ:

a ∈{− 1;5}  ⇒   x ∈{− 1}

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#52393

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(|{22−2y2 +(|x|− 2)2 = 8

|(21−y2 + x= a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Заметим, что система симметрична относительно замены y  на − y.  Следовательно, если она имеет единственное решение, то этим решением будет (x;0).  Найдем, при каких a  у системы есть решение с y = 0:

                              (||⌊ x= −4
( ( 1−02)2        2            ||||||
{  2     + (|x|− 2) = 8    ⇔   {|⌈ x= 0      ⇒   a= −2;2;6.
( 21−02 + x =a                 |||  x= 4
                              |||(
                               x = a− 2

Отберем среди найденных значений a  те, при которых решение (x;0)  — действительно единственное.

1.
Пусть a =− 2.  Тогда система примет вид
({(21−y2)2 +(|x|− 2)2 = 8      ({ x2+ 2x− 2|x|= 0
     2                   ⇔        2
(21−y + x= −2                ( 21−y = − (x + 2)

Так как 1 − y2 ∈[0;1],  то  1−y2
2   ∈ [1;2],  следовательно, − (x+ 2)∈ [1;2],  откуда x ∈[−4;−3].  Из первого уравнения системы находим, что x= −4;0.  Корень x= 0  нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение (− 4;0).  Значит, a= − 2  нам подходит.

2.
Пусть a =2.  Тогда система примет вид
({( 1−y2)2         2           ({  2
  2  2   +(|x|− 2) = 8   ⇔     x −22x− 2|x|= 0
(21−y + x= 2                 ( 21−y = − (x − 2)

Так как 21−y2 ∈[1;2],  следовательно, − (x− 2)∈ [1;2],  откуда x∈ [0;1].  Из первого уравнения системы находим, что x = 0;4.  Корень x= 4  нам не подходит. Следовательно, система имеет единственное решение (0;0).  Значит, a= 2  нам подходит.

3.
Пусть a =6.  Тогда система примет вид
((    )                      (
{ 21−y2 2+(|x|− 2)2 = 8      { x2− 2x− 2|x|= 0
( 1−y2                   ⇔   (  1−y2
 2    + x= 6                   2   = − (x − 6)

Так как 21−y2 ∈[1;2],  следовательно, − (x− 6)∈ [1;2],  откуда x∈ [4;5].  Из первого уравнения системы находим, что x = 4.  Следовательно, система имеет единственное решение (4;0).  Значит, a= 6  нам подходит.

Следовательно, ответ

a∈ {−2;2;6}.
Ответ:

a ∈{±2;6}

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!