Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет ровно четыре различных решения.
Заметим, что левые части равенств неотрицательны, следовательно, и правые должны быть неотрицательны, что выполняется для .
Преобразуем второе уравнение:
С помощью таких действий мы добились того, что второе уравнение зависит от тех же двух выражений с , что и первое уравнение. Система примет вид
где , , причем существует биекция между множеством, состоящим из решений , и
множеством, состоящим из решений .
Докажем это утверждение. Равенства , задают в плоскости прямые и
соответственно, имеющие фиксированное неравное отношение коэффициентов перед и . Следовательно, эти прямые не
совпадают и не параллельны, то есть пересекаются, значит каждому решению соответствует ровно одно решение
. Заметим также, что для двух различных решений (прямые ) и (прямые )
получим различные решения для переменных и . Действительно, так как решения для и различны, то без
ограничения общности можно считать, что как минимум , откуда следует, что прямые и параллельны.
Следовательно, точки и лежат на параллельных прямых и , то есть не могут
совпадать.
Значит, существование четырех различных решений для равносильно существованию четырех различных решений для . Система
симметрична относительно , относительно и относительно . Поэтому любое решение попадет в одну из трех групп:
- I группа
-
содержит решение с условием и и 7 его “дубликатов”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно , где
восьмерки решений имеют вид: ; - II группа
-
содержит решение , у которого ровно одна из двух координат равна , и 3 его “дубликата”, и решение с условием и 3 его “дубликата”, следовательно, число решений, входящих в эту группу, равно , где
четверки решений имеют вид: или вид ; - III группа
-
состоит из единственного решения .
Итог: число решений системы равно , где . Чтобы , нужно, чтобы . Значит необходимо, чтобы система имела ровно 4 решения из II группы. Далее в вычислениях естественно будем учитывать, что .
- 1 случай.
-
Без ограничения общности можно считать, что именно . Тогда получим
Имеем решения:
,
,
,
.
- 2 случай.
-
Если , то получим
Имеем решения ,
,
,
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!