Поскольку -й член данной последовательности можно записать в виде , посчитаем сумму геометрической прогрессии, поэтому искомым ответом является минимальное натуральное число , такое что делится на . Если кратно , вы можете рассмотреть, делится ли на вместо этого и в противном случае вы можете рассмотреть, делится ли на . Поэтому давайте определим целое число таким образом, что если кратно или в противном случае. Теперь достаточно найти минимальное натуральное число i такое, что делится на , т. е. такое что остаток от деления на равен . Если кратно , то кратно для любого положительного целого числа , поэтому его остаток деленное на никогда не будет равно . То же самое относится, когда кратно . Если ни одно из них не выполняется, то по теореме Эйлера выполняется (mod ).

Поэтому, вам достаточно рассмотреть лишь подсчитать функцию эйлера за и проверить все делители её значения. Потому что фактически в задаче вас просят найти показатель числа по модулю .

Заметьте, что, не прибегая к приведенному выше математическому наблюдению, вы можете предположить, что «если ответ не равен , тогда ответ будет довольно маленьким;

Маленьким значит не более . Поэтому вы можете рассмотреть первые значений.

Поэтому фактически в задаче всего лишь требуется подсчитать сумму геометрической прогрессии и написать перебор

Решение на С++

void solve() {
    int K;
    K = 999983;
    int cur = 10;
    for(int i = 0; i < 9 * K; ++i){
        if(7 * (cur - 1) % (9 * K) == 0){
            cout << i + 1 << "\n";
            return 0;
        }
        cur = (cur * 10) % (9 * K);
    }
    cout << "-1\n";
    return 0;
}

Решение на Python

k = 999983
ans = -1
s = 7
for i in range(10 ** 6):
    if s % k == 0:
        ans = i + 1
        break
    s = s * 10 + 7
print(ans)

a = []
for x in range(2, 1000):
    for y in range(x + 1, x + 1000):
        t = max(int(9000000 / (x * y)), y + 1)
        m = int(9010000 / (x * y))
        for z in range(t, min(t + 300, m)):
            s = x * y * z
            if s > 9000000 and s not in a:
                a.append(s)
a.sort()
k = 0
for i in range(9000001, 1000000000):
    if i not in a:
        print(i - 9000000, end=’ ’)
        k += 1
        if k == 5:
            break

ans = 0
for m in range(100):
    for n in range(100):
        N = 4 ** m * 5 ** n
        if 2 * 10 ** 8 <= N <= 6 * 10 ** 8:
            ans += 1
print(ans)

def m(n):
    for x in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % x == 0 and x != n // x:
            return x + n // x
    return 0

k = 0
for i in range(425162, 10000000000):
    if m(i) % 7 == 3:
        print(i, end=’ ’)
        k += 1
    if k == 5:
        break

По теореме Эйлера , так что все значения равны 1, и, следовательно, их среднее – тоже. (Кстати, из того, что для простых p следует Малая теорема Ферма , которая применима и в этой задаче, так как 1013 простое).

Ладно-ладно, снова шучу. Последний раз, обещаю.

count = 0
for i in range(175256, 196429):
    if (i % 57 == 0 and i % 19 != 0) or (i % 57 != 0 and i % 19 == 0):
        count += 1
print(count)

def is_prime(n):
    for j in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % j == 0:
            return False
    return True

ans = []
for i in range(3, 1000):
    if is_prime(i):
        t = i ** 4 * 2
        if 95000000 <= t <= 130000000:
            ans.append(t)
ans.sort(reverse=True)
print(*ans)

counter = 0
for i in range(164925, 623594+1):
    if (i % 2 == 0 or i % 3 == 0) and not(i % 2 == 0 and i % 3 == 0):
        counter += 1
print(counter)

def prime(n):
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True


def count_divs(n):
    divs = []
    for i in range(2, int(n**0.5)+1):
        if n % i == 0:
            if prime(i):
                divs.append(i)
            if i != n//i:
                if prime(n//i):
                    divs.append(n//i)
    if divs == []:
        return 0
    return sum(divs)//len(divs)


counter = 0
for i in range(420000, 1000000000):
    if count_divs(i) % 42 == 24:
        print(i)
        counter += 1
        if counter == 5:
            break

counter = 0
for i in range(10000, 90000):
    t = str(i)
    if int(t[1]) + int(t[3]) == int(t[0]) + int(t[2]) + int(t[4]):
        counter += 1
print(counter)

for m in range(0, 1000, 2):
    for n in range(1, 1000, 2):
        N = 4**m * 5**n
        if 200_000_000 < N < 600_000_000:
            print(N)