Заметим, что функция является четной и уравнение имеет вид . Следовательно, если уравнение имеет решение , то оно имеет также решение . Значит, количество решений уравнения будет четным, если среди решений нет , и нечетным, если среди решений уранвения есть . Так как нам требуется, чтобы уравнение имело единственное решение, что является нечетным количеством, то — решение уравнения.

1.

Найдем, при каких число является решением уравнения:

2.

Проверим, является ли единственным корнем уравнения при найденных или уравнение имеет другие корни. Для этого заметим, что если мы определим хотя бы один корень , то найденные значения параметра нам не подойдут; если же мы докажем, что других корней нет, то найденные нам подходят. Итак, при уравнение имеет вид

Левая часть уравнения , а правая часть , следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равенства равны

Если , то существуют такие , что система имеет решение . Приведем пример. Пусть , . Возьмем , и получим . Если , то все являются решением системы.

Если , то ни при каких , так как в противном случае

Следовательно, иррациональное.