Задача №26266: Построение сечений — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.06 Построение сечений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26266

$SABCD$ – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат $ABCD$ , а две боковые грани $SAB$ и $SAD$ представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом $∠A$ .

1) Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельно грани $SBC$ .

2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, если $SA = AB = a$ .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка $A$ - начало координат,

Ось $OX$ направим вдоль вектора $A⃗D$ ,

Ось $OY$ направим вдоль вектора $A⃗B$ ,

Ось $OZ$ направим вдоль вектора $A⃗S$ .

( $A⃗S ⊥ A⃗B$ и $⃗AS ⊥ A⃗D$ по условию $⇒ A⃗S ⊥$ плоскости основания)

$PIC$

Пусть $AB = a,AS = h$ , тогда:

$( ) 0 A = || 0|| ( ) 0$ , $( ) 0 B = || a|| ( ) 0$ , $( ) a C = ||a|| ( ) 0$ , $( ) a D = ||0|| ( ) 0$ , $( ) 0 S = || 0|| ( ) h$ ,

$( ) ( ) ( ) ( ) x 0 a a O :|| || = A + 1 ⋅ ⃗AC = || || + 1⋅|| || = || 2a|| ( y) 2 ( 0) 2 ( a) ( 2) z 0 0 0$

Параметрически зададим уравнение искомой плоскости $L$ через начальную точку и 2 направляющих вектора плоскости $SBC$ (в силу того, что эти плоскости параллельны):

$( x) | | L :|( y|) = O + α⋅B⃗S + β ⋅B⃗C, α,β ∈ ℝ z$

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| | 0| | 0| | 0 | B⃗S : |(y|) = S − B = |( 0|) − |( a|) = |(− a|) z h 0 h$

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| |a| | 0| | a| B⃗C :|(y|) = C − B = |(a|) − |( a|) = |( 0|) z 0 0 0$

$( ) ( a) ( ) ( ) | x| | 2| | 0 | | a| L :|( y|) = |( a2|) + α ⋅|( − a|) + β ⋅|( 0|) , α,β ∈ ℝ z 0 h 0$

1) Очевидно, что, так как $L$ $||$ $SBC$ , прямая плоскости $L$ , проходящая через точку $O$ будет параллельна прямой $BC$ и пересекать $AB$ и $CD$ в их серединах — в точках $M$ и $N$ , соответственно.

$( ) 0 M = || a|| ( 2) 0$ $( ) a N = ||a|| (2) 0$ $( ) a M⃗N = || 0|| ( ) 0$

Найдем пересечение плоскости $L$ с прямой $AS$

$( ) ( ) ( ) | x| |0| | 0| AS :|( y|) = A + γ ⋅ ⃗AS = |(0|) +γ ⋅|( 0|) , γ ∈ ℝ z 0 h$

( ( ||| a2 + 0α +aβ = 0 +0γ ||| β = − 12 { a { 1 || 2 − aα + 0β = 0 +0γ ⋅⋅⋅ || α = 2 |(0 + hα+ 0β = 0+ hγ |( γ = 1 2

Подставим $γ$ в уравнение прямой и найдём точку $K$

$( ) ( ) ( ) 0 0 0 || || 1 || || || || K :( 0) + 2 ⋅(0) = (0 ) 0 h h2$

Найдем уравнение прямой $DS$

$( ) ( ) ( ) x a − a || || ⃗ || || || || DS :(y) = D + ω⋅DS = D = (0) +ω ⋅( 0) , ω ∈ ℝ z 0 h$

Докажем, что точка пересечения $DS$ и плоскости $L$ - точка $P$ имеет координаты: $( ) a || 2|| P = ( 0) h2$

Подставим $ω = 1 2$ в уравнение прямой $DS$

$( ) ( ) ( ) ( a) | x| |a| 1 |− a| | 2| |( y|) = D = |(0|) + 2 ⋅|( 0 |) = |( 0|) = P z 0 h h2$

Подставим $α = 1,β = 0 2$ в уравнение плоскости $L$

$( ) ( a) ( ) ( ) ( a) | x| | 2| | 0 | | a| | 2| |( y|) = |( a2|) + 12 ⋅|( − a|) + 0⋅|( 0|) = |( 0|) = P z 0 h 0 h 2$

Точка $P$ принадлежит одновременно прямой и плоскости, следовательно, это и есть точка пересечения.

$( ) ( ) ( a) ( a) | x| | 0| | 2| | 2| P⃗K :|( y|) = K − P = |( 0|) − |( 0|) = |( 0|) z h2 h2 0$

Заметим, что одноименные направляющие вектора прямых $M N$ и $P K$ коллинеарны $⇒ M N$ $||$ $P K$

$( ) ( a) ( ) ( a) | x| | 2| | a| | − 2| N⃗P :|( y|) = P − N = |( 0|) − |( a2|) = |( − a2|) z h2 0 h2$

$( ) ( ) ( ) ( ) |x| | 0| | 0| | 0 | M⃗K : |(y|) = K − M = |( 0|) − |( a2|) = |( − a2|) z h 0 h 2 2$

И очевидно, что прямые $N P,M K$ не являются параллельными, так как направляющие вектора не коллинеарны.

Получаем, что в сечении $N M KP$ - трапеция.

2) Заметим, что $M K ⊥ N M$ . Докажем это через скалярное произведение направляющих векторов этих прямых.

$( ) ( ) 0 a ⃗ ⃗ || a|| || || (M K, NM ) = (− 2) × ( 0) = 0 h2 0$

Тогда найдем $S$ по формуле:

S = |P ⃗K-|+-|M ⃗N-||M ⃗K | 2

$|P⃗K | = ∘ (a)2 +-02 +-02 = a 2 2$

$⃗ ∘ --2---2----2 |M N| (a) + 0 + 0 = a$

Из условия $SA = AB = a → h = a$ .

$√- |M⃗K| = ∘02-+-(−-a)2 +-(a)2 = √a-= a-2 2 2 2 2$

Тогда найдем $S$

- - (a2 + a) a√ 2 3√2 2 S = ---2---⋅-2--= -8-a

Ответ:

$√- S = 382a2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ