Тема Стереометрия в координатах
06 Построение сечений
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела стереометрия в координатах
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26267

Дана правильная треугольная пирамида SABC  с вершиной S  .

1) Проведите плоскость через середину ребра AC  и точки пересечения медиан граней ASB  и CSB  . Найдите сечение пирамиды этой плоскостью.

2) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB = 21  ,       √ -
AS = 12  2  .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка A  - начало координат,

Ось OX  направим вдоль вектора A⃗B  ,

Ось OY  направим в полуплоскость, содержащую точку C  , перпендикулярно A⃗B  ,

Ось OZ  направим в полупространство, содержащее точку S  , перпендикулярно векторам A⃗B  и A⃗C  .

PIC

Пусть точка O  — основание высоты пирамиды, AB = a  , OS = h

    (  )
    | 0|
A = |( 0|)
      0     (  )
    | a|
B = |( 0|)
      0     (    )
    | √a2-|
C = |( a23|)
      0     (    )
    |  a2√-|
S = |( a63|)
       h

1) Пусть K  - середина ребра AC  , M, N  - точки пересечения медиан граней ASB  и CSB  соответственно.

   (  )
   | x|
K :|( y|) = A + 12A⃗C
     z

     ( )           (    )   (  )   (    )
     |x|           |  a2√-|   | 0|   |  a2√-|
A⃗C  :|y|  = C − A = | a-3| − | 0| = | a-3|
     ( )           (  2 )   (  )   (  2 )
      z               0       0       0

   (  )   (  )      (    )   (    )
     x      0          a2-       a4-
K :|| y|| = || 0|| + 1 ⋅|| a√-3|| = || a√3||
   (  )   (  )   2  (  2 )   (  4 )
     z      0         0         0

Аналогично найдем середины AB, BC

   (  )              (  )
   | x|              | a2|
X :|( y|) = A + 12A⃗B  = |( 0|)

     z                 0

   (  )
     x
Y :|| y|| = B + 1B⃗C
   (  )       2
     z

      ( )            (    )   ( )   (    )
       x               a2       a      − a2
B⃗C  = ||y||  = C − B = ||a√3-|| − ||0|| = || a√3||
      ( )            ( 2  )   ( )   (  2 )
       z               0       0       0

   (  )   (  )     (    )    (    )
     x      a        − a2       3a4
Y :|| y|| = || 0|| + 1⋅|| a√3||  = || a√3-||
   (  )   (  )   2 (  2 )    (  4 )
     z      0         0        0

Воспользовавшись тем фактом, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1  , считая от вершины, найдем координаты точек M, N  .

    (  )              ( )      (    )   (    )
     x                 a          0        a
    ||  ||       1 ⃗    ||2||    1 || a√3||   || a2√3||
M  :(y ) = X + 3XS  = (0)  + 3 ⋅( 6 ) = (  18)
     z                 0          h        h3

   ( x)
   |  |       1
N :|( y|) = Y + 3Y⃗S
     z

     (|x)|   (|  a2√-)|   (|  34√a)|    (| − a4√-)|
Y⃗S : |(y|) = |( a63|) −|( a43|)  = |(− a123|)
      z       h        0         h

   (  )   (  3a)      (   a )    ( 2a )
   | x|   |  4√-|      |  −4√-|    | -3√-|
N :|( y|) = |( a43|) +  13 ⋅|( − a132|) = |(2a93|)
     z       0           h          h
                                    3

Заметим, что направляющий вектор плоскости  ⃗     1⃗
M N =  3AC  .

      (     )   (    )   (    )      (    )
         2a3-       a2-       a6-          a2-
M⃗N = || 2a√3|| − || a√3|| = || a√3|| =  1⋅|| a√3|| = 1A⃗C
      (   9h )   (  18h )   (  6 )    3 (  2 )   3
          3        3        0           0

Тогда A⃗C  - направляющий вектор плоскости. Учитывая, что плоскость по условию проходит через середину  AC  , получаем, что AC  принадлежит искомой плоскости.

Параметрически зададим уравнение искомой плоскости P  через начальную точку и 2 направляющий вектора этой плоскости.

   (  )                       (  )      (    )     (    )
   | x|                       | 0|      | a2√ -|     |  a2√-|
P :|( y|) = A + α ⋅ ⃗AC + β ⋅A⃗M = |( 0|) + α ⋅|(a2-3|) + β ⋅|( a183|) ,α,β ∈ ℝ
     z                          0         0           h
                                                      3

Пусть L  - точка пересечения плоскости P  и прямой SB  . Параметрически зададим уравнение прямой SB  через начальную точку и направляющий вектор прямой:

     ( )              ( )      (    )
      x                a         − a2
SB : ||y|| = B + γB⃗S  = ||0||  +γ ⋅|| a√3||
     ( )              ( )      (  6 )
      z                0          h

Найдем точку пересечения P  и SB  :

(    a    a       a              (
|||{ 0+ 2α-+ 2β =-a− 2 γ   -        |||{ α = 0
  0+ a√3α + a√3β = 0+ a√3γ   ⋅⋅⋅   β = 3
|||     2      18        6         |||     2
( 0+ 0α + h3β = 0+ hγ             ( γ = 12

Подставим значение параметра γ  в уравнение прямой и найдем координаты точки L  .

   (  )   (  )     (    )   (    )
     x      a        − a2       34a
L :|| y|| = || 0|| + 1⋅|| a√3|| = || a√3||
   (  )   (  )   2 (  6 )   (  1h2)
     z      0         h        2

В сечении получаем треугольник ACL  , где все точки этого треугольника нам известны.

2) Найдём уравнение вектора K⃗L

     (  )           (    )   (    )   (     )
      x               3a4       a4        a2
K⃗L  :||y || = L− K  = || a√3-|| − ||a√3-|| = ||− a√3||
     (  )           ( 1h2 )   (  4 )   (  h6 )
      z                2       0         2

Заметим, что AC  ⊥ KL  . Докажем это через скалярное произведение одноименных векторов.

           (  a )   (   a  )
           |  2√-|   |   2√ -|   a2   3a2     h   a2  a2
(A⃗C, K⃗L ) = |( a23|) × |( − a63|) = 4 − 12-+ 0⋅ 2 = 4-− -4 = 0
              0         h
                        2

Тогда S  треугольника можно по следующей формуле:

S = 1AC ⋅KL
    2

       ∘ ------------
| ⃗AC | = a2+ 3a2+ 02 = a
         4    4

       ∘ -2----2---2-   ∘ --2-----
|K⃗L | =  a4-+ 3a36-+ h4 = 12  4a3-+ h2

Из условия AB = 21 ⇒ a = 21  ,

       √ -    ⃗    ∘ a2--3a2---2-  ∘-a2----2
AS = 12  2 = |AS | = 4 +  36 + h =    3 + h

Отсюда         √-     2
h2 = (12 2)2 − a3

        ∘ -----------------   ∘ ------------
|K⃗L | = 1 4a2+ (12√2)2 − a2 = 1 212 + (12√2)2 = 27
       2   3             3   2                 2

S = 12 ⋅21 ⋅ 227= 5647-

Ответ:

S = 5647

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26266

SABCD  – четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD  , а две боковые грани SAB  и    SAD  представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом ∠A  .

1) Найдите сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку пересечения диагоналей основания и параллельно грани SBC  .

2) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, если SA  = AB = a  .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка A  - начало координат,

Ось OX  направим вдоль вектора A⃗D  ,

Ось OY  направим вдоль вектора A⃗B  ,

Ось OZ  направим вдоль вектора A⃗S  .

(A⃗S ⊥ A⃗B  и ⃗AS ⊥ A⃗D  по условию ⇒ A⃗S  ⊥ плоскости основания)

PIC

Пусть AB = a,AS  = h  , тогда:

    (  )
      0
A = || 0||
    (  )
      0 ,     (  )
      0
B = || a||
    (  )
      0 ,     ( )
     a
C = ||a||
    ( )
     0 ,      ( )
      a
D  = ||0||
     ( )
      0 ,     (  )
      0
S = || 0||
    (  )
      h ,

   (  )               (  )     (  )   (  )
     x                  0        a      a
O :||  || = A + 1 ⋅ ⃗AC = || || + 1⋅||  || = || 2a||
   ( y)       2       ( 0)   2 ( a)   ( 2)
     z                  0        0      0

Параметрически зададим уравнение искомой плоскости L  через начальную точку и 2 направляющих вектора плоскости SBC  (в силу того, что эти плоскости параллельны):

   ( x)
   |  |
L :|( y|) = O + α⋅B⃗S  + β ⋅B⃗C,  α,β ∈ ℝ
     z

     ( )           (  )   (  )   (   )
     |x|           | 0|   | 0|   | 0 |
B⃗S : |(y|) = S − B = |( 0|) − |( a|) = |(− a|)
      z              h      0      h

     ( )            ( )   (  )   (  )
     |x|            |a|   | 0|   | a|
B⃗C  :|(y|)  = C − B = |(a|) − |( a|) = |( 0|)
      z              0      0      0

   (  )   ( a)     (    )     (  )
   | x|   | 2|     |  0 |     | a|
L :|( y|) = |( a2|) + α ⋅|( − a|) + β ⋅|( 0|) , α,β ∈ ℝ
     z      0         h         0

1) Очевидно, что, так как L  || SBC  , прямая плоскости L  , проходящая через точку O  будет параллельна прямой BC  и пересекать AB  и CD  в их серединах — в точках M  и N  , соответственно.

     (  )
       0
M  = || a||
     ( 2)
       0      ( )
      a
N =  ||a||
     (2)
      0       (  )
        a
M⃗N = || 0||
      (  )
        0

Найдем пересечение плоскости L  с прямой AS

    (  )               ( )      (  )
    | x|               |0|      | 0|
AS :|( y|) = A + γ ⋅ ⃗AS = |(0|) +γ ⋅|( 0|) , γ ∈ ℝ
      z                 0         h

(                         (
||| a2 + 0α +aβ = 0 +0γ      ||| β = − 12
{ a                       {     1
|| 2 − aα + 0β = 0 +0γ  ⋅⋅⋅ || α = 2
|(0 + hα+ 0β = 0+ hγ       |( γ = 1
                                2

Подставим γ  в уравнение прямой и найдём точку K

   (  )      ( )    (  )
     0        0      0
   ||  ||   1  || ||    ||  ||
K :( 0) + 2 ⋅(0)  = (0 )
     0        h       h2

Найдем уравнение прямой DS

     ( )                    ( )      (   )
      x                      a         − a
     || ||           ⃗        || ||      ||   ||
DS  :(y)  = D + ω⋅DS  = D = (0)  +ω ⋅(  0) ,  ω ∈ ℝ
      z                      0         h

Докажем, что точка пересечения DS  и плоскости L  - точка P  имеет координаты:     (  )
      a
    || 2||
P = ( 0)
      h2

Подставим ω = 1
    2  в уравнение прямой DS

(  )        ( )      (   )   ( a)
| x|        |a|   1  |− a|   | 2|
|( y|) = D  = |(0|) + 2 ⋅|( 0 |) = |( 0|) = P
  z          0         h       h2

Подставим α = 1,β = 0
    2  в уравнение плоскости L

(  )   ( a)      (   )     (  )   ( a)
| x|   | 2|      | 0 |     | a|   | 2|
|( y|) = |( a2|) +  12 ⋅|( − a|) + 0⋅|( 0|) = |( 0|) = P
  z      0         h         0      h
                                    2

Точка P  принадлежит одновременно прямой и плоскости, следовательно, это и есть точка пересечения.

     (  )           (  )   ( a)   ( a)
     | x|           | 0|   | 2|   | 2|
P⃗K :|( y|) = K − P = |( 0|) − |( 0|) = |( 0|)
       z              h2      h2      0

Заметим, что одноименные направляющие вектора прямых M N  и P K  коллинеарны ⇒  M N  || P K

     (  )           ( a)   (  )   (   a)
     | x|           | 2|   | a|   | − 2|
N⃗P :|( y|) = P − N = |( 0|) − |( a2|) = |( − a2|)
       z              h2      0       h2

      ( )            (  )   (  )   (    )
      |x|            | 0|   | 0|   |  0 |
M⃗K : |(y|) = K  − M = |( 0|) − |( a2|) = |( − a2|)
       z               h      0       h
                       2              2

И очевидно, что прямые N P,M K  не являются параллельными, так как направляющие вектора не коллинеарны.

Получаем, что в сечении N M KP  - трапеция.

2) Заметим, что M K ⊥ N M  . Докажем это через скалярное произведение направляющих векторов этих прямых.

             (   )   (  )
               0       a
  ⃗    ⃗     ||  a||   ||  ||
(M K, NM ) = (− 2) × ( 0) = 0
               h2       0

Тогда найдем S  по формуле:

S = |P ⃗K-|+-|M ⃗N-||M ⃗K |
         2

|P⃗K | = ∘ (a)2 +-02 +-02 = a
          2             2

  ⃗  ∘ --2---2----2
|M N|  (a) + 0 + 0 = a

Из условия SA = AB = a → h = a  .

                                 √-
|M⃗K| = ∘02-+-(−-a)2 +-(a)2 = √a-= a-2
                2     2      2   2

Тогда найдем S

               -     -
    (a2 + a) a√ 2   3√2 2
S = ---2---⋅-2--=  -8-a

Ответ:

     √-
S = 382a2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26265

Дан куб ABCDA1B1C1D1  . На ребрах AA1  и BC  отмечены точки M  и N  соответственно, причем AM  : M A1 = 2 : 1  , а N  – середина BC  . В каком отношении плоскость DM  N  делит ребро BB1  .

Показать ответ и решение

Введём прямоугольную систему координат(см. рисунок).

Точка A  - начало координат,

Ось OX  направим вдоль вектора A⃗D  ,

Ось OY  направим вдоль вектора A⃗B  ,

Ось OZ  направим вдоль вектора A⃗A1  .

PIC

Пусть сторона куба AB = a  , тогда можем найдем координаты следующих точек

    (  )
      0
A = ||  ||
    ( 0)
      0 ,     (  )
      0
B = ||  ||
    ( a)
      0 ,     ( )
     a
C = || ||
    (a)
     0 ,      ( )
      a
D  = || ||
     (0)
      0 ,      (  )
       0
A  = ||  ||
  1  ( 0)
       a ,      (  )
       0
B  = ||  ||
 1   ( a)
       a ,

    (  )              (  )     (  )   (   )
     x                  0        0      0
    ||  ||       2 ⃗    ||  ||   2 ||  ||   ||   ||
M  :(y ) = A + 3AA1 = ( 0) + 3 ⋅( 0) = ( 0 )
     z                  0        a      23a ,

   (  )              (  )     (  )   (  )
     x                 0        a      a
   ||  ||       1 ⃗    ||  ||   1 ||  ||   || 2||
N :( y) = B + 2BC  = ( a) + 2 ⋅( 0) = ( a)
     z                 0        0      0

(Так как     ( x)           ( a)   (0)    (a)
    |  |           |  |   | |    | |
⃗BC :|( y|) = C − B = |( a|) − |(a|)  = |(0|)
      z              0     0      0 )

Параметрически зададим уравнение прямой BB1  через начальную точку и направляющий вектор прямой:

      ( )                (  )      ( )
       x                   0        0
      || ||           ⃗    ||  ||      || ||
BB1 : (y) = B + α ⋅BB1 = ( a) + α ⋅(0) ,  α ∈ ℝ
       z                   0        a

Параметрически зададим уравнение плоскости DM  N  через начальную точку и 2 направляющих вектора плоскости:

       (  )
         x
       ||  ||           ⃗       ⃗
DM  N :( y) = D + β ⋅DM  + γ ⋅DN
         z

     (  )            (   )   ( )    (   )
     | x|            | 0 |   |a|    |− a|
D⃗M  :|( y|) = M  − D = |( 0 |) − |(0|)  = |( 0 |)
       z               23a     0       23a

     (  )           ( a)   (  )   (  a )
     | x|           | 2|   | a|   | −2 |
D⃗N  :|( y|) = N − D = |( a|) − |( 0|) = |(  a |)
       z              0      0       0

       (  )   (  )     (   )      (  a)
       | x|   | a|     | − a|     | −2|
DM  N :|( y|) = |( 0|) + β ⋅|( 0|)  +γ ⋅|( a |) ,  β,γ ∈ ℝ
         z      0        2a         0
                         3

Найдем точку пересечения BB1  и DM N  :

(|                 a        (|     1
||{ 0+ 0α = a− aβ − 2γ       ||{ β = 2
  a+ 0α = 0+ 0β + aγ   ...   γ = 1
|||(            2             |||(     1
  0+ aα = 0+ 3aβ + 0γ        α = 3

Найдем координаты точки пересечения, подставив найденное значение     1
α = 3  в уравнение прямой BB1

   (  )   (  )      ( )    (  )
   | x|   | 0|      |0|    |0 |
K :| y| = | a| + 13 ⋅|0|  = |a |
   (  )   (  )      ( )    (a )
     z      0        a      3

Тогда очевидно, что BK : KB1 = 1 : 2

Ответ:

BK  : KB1 = 1 : 2  , где K  - точка пересечения ребра и плоскости.

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!