Задача №21785: Уравнения прямых и плоскостей — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема . Стереометрия в координатах

.02 Уравнения прямых и плоскостей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#21785

Точки $( ) ( ) ( ) | 1 | |− 3| | 1 | F = |( − 3|) ,H = |( 8 |) ,Y = |( 0 |) 2 1 − 5$

принадлежат плоскости $α$ , а точки

$( ) ( ) ( ) | 9| | 0| |0| X = |( 1|) ,D = |( 6|) ,W = |(0|) − 2 9 7$

принадлежат плоскости $β$ . Найдите взаимное расположение этих плоскостей (пересекаются/параллельны), если существует пересечение, то напишите чему оно равно.

Показать ответ и решение

Найдём параметрическое уравнение плоскости $α = FHY$

$( ) x F HY :|| y|| = F + γ ⋅F⃗H + δ ⋅ ⃗FY , γ,δ ∈ ℝ ( ) z$

Где $F$ - начальная точка, $F⃗H,F⃗Y$ - направляющие вектора этой плоскости. Посчитаем координаты векторов $F⃗H,F⃗Y$

$( ) ( ) ( ) ( ) | x| | − 3| | 1 | | − 4| F H :|( y|) = H − F = |( 8 |) − |( − 3|) = |( 11|) z 1 2 − 1$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 1 1 0 || || || || || || || || F Y :(y) = F − Y = ( 0 ) − (− 3) = ( 3 ) z − 5 2 − 7$

Тогда уравнение плоскости $FHY$ примет следующий вид

( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 1| |− 4| | 0 | FHY :|( y|) = |( − 3|) + γ |( 11|) + δ|( 3 |) γ,δ ∈ ℝ z 2 − 1 − 7

Аналогично находим уравнение плоскости $β = XDW$

$( ) | x| XDW :|( y|) = X + 𝜖⋅X⃗D + ζ ⋅XW⃗ , 𝜖,ζ ∈ ℝ z$

$( ) ( ) ( ) ( ) x 0 9 − 9 || || || || || || || || XD :( y) = D − X = ( 6) − ( 1 ) ( 5 ) z 9 − 2 11$

$(| x)| (| 0)| (| 9 )| (| − 9)| XW :|( y|) = W − X = |( 0|) − |( 1 |) = |( − 1|) z 7 − 2 9$

Тогда уравнение плоскости $XDW$ примет следующий вид

( ) ( ) ( ) ( ) x 9 − 9 − 9 || || || || || || || || XDW :(y ) = ( 1 ) + 𝜖( 5 ) + ζ( − 1) 𝜖,ζ ∈ ℝ z − 2 11 9

Когда уравнения плоскостей найдены, наша задача сводится к базисной задаче №3 из методички. Решив эту задачу, найдем прямую пересечения плоскостей - $GJ$ .

( ) −-315 ( ) || 293 || | − 864| GJ = || − 35-|| + ς ⋅|( − 327|) , ς ∈ ℝ |( 293 |) 2366- 1450 293

Ответ:

Уравнение плоскости $α$ :

( ) ( ) ( ) ( ) | x| | 1| |− 4| | 0 | FHY :|( y|) = |( − 3|) + γ |( 11|) + δ|( 3 |) γ,δ ∈ ℝ z 2 − 1 − 7

Уравнение плоскости $β$ :

( ) ( ) ( ) ( ) x 9 − 9 − 9 XDW :||y || = || 1 || + 𝜖|| 5 || + ζ|| − 1|| 𝜖,ζ ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) z − 2 11 9

Пересечение плоскостей - это прямая GJ. Уравнение этой прямой:

$( − 315) | -----| ( − 864) || 2−9 335 || | | GJ = || ----|| + ς ⋅|( − 327|) , ς ∈ ℝ ( 2239636 ) 1450 ---- 293$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ