Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны три различные точки, являющиеся серединами сторон какого-то треугольника.
.
Найдите уравнения направляющих векторов прямых, на которых лежат стороны этого треугольника.
Из условия понятно, что - средние линии этого треугольника. Тогда в силу того, что средние линии параллельны соответствующим сторонам треугольника, вектора будут попарно коллинеарны соответствующим направляющим векторам прямых, на которых лежат стороны треугольника.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и . Являются ли они скрещивающимися?
Если прямые не являются параллельными и не пересекаются, то они скрещиваются. Нужно проверить оба варианта расположения прямых.
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора не коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, не будут параллельными.
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
|
Отсюда следует, что прямые не пересекаются.
Получаем, прямые не являются параллельными и не пересекаются они скрещиваются.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и . Являются ли они пересекающимися?
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения прямых и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и . Являются ли они параллельными?
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, будут параллельными.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и . Являются ли они параллельными?
Чтобы прямые были параллельны, нужно, чтобы их направляющие вектора были коллинеарны. Попробуем найти коэффициент пропорциональности двух направляющих векторов:
|
Отсюда следует, что . Получаем, что направляющие вектора коллинеарны, следовательно, прямые, образованные этими направляющими векторами, будут параллельными.
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны две прямые и . Являются ли они пересекающимися?
Чтобы проверить пересечение прямых, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат двух прямых. Для этого нужно решить систему из трёх
уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения прямых и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
- Да
- да
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и :
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и , где :
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и , где :
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и , где :
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны точки A, B, C, D. Найдите точку пересечения прямых AB и CD.
Составим уравнения прямых и , где :
|
|
Далее, находим точку пересечения между двумя прямыми аналогично базисной задаче 1 из методички.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости Требуется узнать положение прямой относительно плоскости . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости Требуется узнать положение прямой относительно плоскости . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.
Стоит заметить, что направляющий вектор прямой коллинеарен одному из направляющих векторов плоскости.
|
Тогда прямая либо параллельна, либо лежит в плоскости. Чтобы убедиться, что прямая параллельна плоскости, нужно взять любую точку на прямой и доказать, что она не лежит в плоскости. Возьмем точку на прямой , полученную из уравнения прямой при . Приравняем координаты точки к координатам плоскости:
|
Приведем следующее рассуждение: из равенства по координате следуюет, что при любых параметрах , равенство недостижимо, следовательно, точка не принадлежит плоскости.
Из всего вышеизложенного можем однозначно сделать вывод, что прямая параллельна плоскости.
Кроме того, эту задачу можно было решить вторым способом - просто в системе приравнять координаты и доказать, что у полученной системы нет решений.
|
Прямая параллельна плоскости.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости Требуется узнать положение прямой относительно плоскости . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости Требуется узнать положение прямой относительно плоскости . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны уравнение прямой и уравнение плоскости Требуется узнать положение прямой относительно плоскости . Если прямая пересекает плоскость, найти точку пересечения.
Чтобы проверить пересечение прямой и плоскости, нужно выяснить - возможно ли подобрать такие параметры , при
которых будет совпадение всех трёх координат прямой и плоскости, то есть найдется общая точка. Для этого нужно
решить систему из трёх уравнений:
|
Теперь мы можем подставить найденные парамаетры в соответствующие уравнения и убедиться, что координаты полученных точек будут совпадать:
|
|
Прямая пересекает плоскость в точке c координатам
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки
принадлежат плоскости , а точки
принадлежат плоскости . Найдите взаимное расположение этих плоскостей (пересекаются/параллельны), если существует пересечение, то напишите чему оно равно.
Найдём параметрическое уравнение плоскости
Где - начальная точка, - направляющие вектора этой плоскости. Посчитаем координаты векторов
Тогда уравнение плоскости примет следующий вид
|
Аналогично находим уравнение плоскости
Тогда уравнение плоскости примет следующий вид
|
Когда уравнения плоскостей найдены, наша задача сводится к базисной задаче №3 из методички. Решив эту задачу, найдем прямую пересечения плоскостей - .
|
Уравнение плоскости :
|
Уравнение плоскости :
|
Пересечение плоскостей - это прямая GJ. Уравнение этой прямой:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны 5 точек: . Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки , , и уравнение прямой, проходящей через и . Найдите пересечение прямой с плоскостью.
Уравнение плоскости:
За начальную точку принята точка , за первый направляющий вектор взят вектор , за второй - вектор .
Уравнение прямой:
За начальную точку принята точка , за направляющий вектор взят вектор делённый на . Решаем базисную задачу №2 из методички и получаем ответ.
Пересечением является точка
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известны координаты четырех точек:
.
Одна прямая проходит через точки и , вторая через точки и . Составьте уравнения этих прямых и определите их взаимное расположение (пересекаются/параллельны/скрещиваются).
Параметрические уравнения прямых:
Решим базисную задачу №1 из методички и получим, что и пересекаются в точке .