Задача №80066: Векторы и операции с ними — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема . Стереометрия в координатах

.01 Векторы и операции с ними

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80066

Даны точки $A(3;− 1;1),$ $B (1;−1;3),$ $C(−1;1;3).$ Найдите углы треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Найдем стороны треугольника $ABC$ по формуле расстояния между точками.

AB = ∘(1−-3)2+-(−-1+-(−1))2+-(3−-1)2 = √4+-0+-4= √8-= 2√2,

BC = ∘ (−-1−-1)2+-(1−-(−1))2+-(3−-3)2-= √4+-4+-0= √8-= 2√2,

AC = ∘ (−-1−-3)2+-(1−-(−1))2+-(3−-1)2-= √16+-4+-4= √24-= 2√6.

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC.$ Пусть $∠A = α,∠B = β,∠C =γ.$ Тогда $α = γ.$ Найдем $α$ по теореме косинусов:

BC2 = AC2 + AB2− 2AB ⋅BC ⋅cosα,

AC2 + AB2 − BC2 24+ 8− 8 24 3 √3 cosα = ----2AB-⋅AC---- = ---√---√--= √---= -√--= 2-. 2⋅2 2 ⋅2 6 8 12 2 3

Следовательно, $α =γ = 30∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ β = 180 − α− γ =180 − 30 − 30 = 120 .

Ответ:

$∠A = 30∘,∠B = 120∘,∠C = 30∘$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse