Векторы и операции с ними —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема Стереометрия в координатах

01 Векторы и операции с ними

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела стереометрия в координатах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22084

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.

$⃗a$ = $( ) 3 || || (4) , 2$ $⃗ b$ = $( ) − 1 || || ( 0) . 1$

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

⃗a× ⃗b ∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗- |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = 3 ⋅(− 1)+ 4⋅0 +2 ⋅1 = − 1

Найдем модули векторов:

∘ ----------- -- ∘ -------------- - |a| = 32 + 42 +22 = √29 |b| = (− 1)2 + 02 + 12 = √ 2

Подставим найденные значения в формулу:

− 1 − 1 ∠(⃗a,⃗b) = arccos√----√--= arccos√--- 29⋅ 2 58

Ответ:

$arccos√−518$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#22083

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.

$⃗a$ = $( ) − 3 || || (− 3) , 3$ $⃗ b$ = $( ) 3 || || ( 3) . 6$

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

⃗a× ⃗b ∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗- |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = (− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 + 3⋅6 = 0

Подставив ноль в числитель, получим $∠ (⃗a,⃗b) = arccos(0) ⇒ ∠(⃗a,⃗b) = π2$

Следовательно, $⃗a ⊥ ⃗b$ .

Ответ:

$∠ (⃗a,⃗b) = π2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22082

Даны два вектора, перпендикулярны ли они? В ответ запишите слово "да" или "нет" (без кавычек с маленькой буквы), если векторы перпендикулярны или не перпендикулярны, соответственно.

$⃗a$ = $(− 3) | | |(− 3|) , − 3$ $⃗b$ = $( 3) | | |( 3|) . 3$

Показать ответ и решение

Чтобы установить перпендикулярность векторов, нужно найти их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны.

⃗a ×⃗b = (− 3)⋅3 +(− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 = − 27

Следовательно, вектора не перпендикулярны.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22081

$⃗a$ = $(7) | | |(8|) , 5$ $⃗b$ = $( − 3) | | |( 2|) . 1$

Показать ответ и решение

⃗a ×⃗b = 7⋅(− 3)+ 8⋅2+ 5 ⋅1 = 0

Следовательно, $⃗a ⊥ ⃗b$ .

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#22080

$⃗a$ = $(2) | | |(1|) , 3$ $⃗b$ = $( 5) | | |( 4|) . 3$

Показать ответ и решение

⃗a ×⃗b = 2⋅5 + 1⋅4+ 3 ⋅3 = 23

Следовательно, вектора не перпендикулярны.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22085

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.

$⃗a$ = $( ) 3 || || ( 0 ) , − 5$ $⃗ b$ = $( ) 0 || || ( 3) . 7$

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

⃗a× ⃗b ∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗- |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a ×⃗b = 3⋅0 +0 ⋅3+ (− 5)⋅7 = − 35

Найдем модули векторов:

∘ -------------- -- ∘ ----------- -- |a| = 32 + 02 + (− 5)2 = √ 34 |b| = 02 + 32 + 72 = √58

Подставим найденные значения в формулу:

− 35 − 35 ∠(⃗a,⃗b) = arccos√---√---= arccos -√---- 34 ⋅ 58 2 493

Ответ:

$∠ (⃗a,⃗b) = arccos2−√34593$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#80067

Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD,$ если координаты трех других его вершин известны: $A(1;0;1),$ $B(1;2;9),$ $C(5;6;11).$

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, $−A→B = −D−→C.$ Пусть $D(x;y;z).$ Тогда $−A→B{0;2;8},−D−→C {5− x;6− y;11 − z}.$ Векторы равны, а значит равны их координаты, то есть

( ( |{0 = 5− x, |{ x= 5, |(2 = 6− y, |( y = 4, 8 = 11− z. z = 3.

Ответ:

$D (5;4;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#80066

Даны точки $A(3;− 1;1),$ $B (1;−1;3),$ $C(−1;1;3).$ Найдите углы треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Найдем стороны треугольника $ABC$ по формуле расстояния между точками.

AB = ∘(1−-3)2+-(−-1+-(−1))2+-(3−-1)2 = √4+-0+-4= √8-= 2√2,

BC = ∘ (−-1−-1)2+-(1−-(−1))2+-(3−-3)2-= √4+-4+-0= √8-= 2√2,

AC = ∘ (−-1−-3)2+-(1−-(−1))2+-(3−-1)2-= √16+-4+-4= √24-= 2√6.

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC.$ Пусть $∠A = α,∠B = β,∠C =γ.$ Тогда $α = γ.$ Найдем $α$ по теореме косинусов:

BC2 = AC2 + AB2− 2AB ⋅BC ⋅cosα,

AC2 + AB2 − BC2 24+ 8− 8 24 3 √3 cosα = ----2AB-⋅AC---- = ---√---√--= √---= -√--= 2-. 2⋅2 2 ⋅2 6 8 12 2 3

Следовательно, $α =γ = 30∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ β = 180 − α− γ =180 − 30 − 30 = 120 .

Ответ:

$∠A = 30∘,∠B = 120∘,∠C = 30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#80065

Даны векторы $⃗a{3;−1;0}$ и $⃗b{−2;0;1}.$ Найдите $|⃗a +⃗b|2.$

Показать ответ и решение

Сначала найдем координаты вектора $⃗c= ⃗a +⃗b :$

⃗c{3+ (− 2);− 1+ 0;0 +1} ={1;−1;1},

2 2 2 2 |⃗c| = 1 + (−1) +1 =1 + 1+ 1= 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80063

Дан вектор $√- ⃗a{5 2;−1;7}.$ Найдите его длину.

Показать ответ и решение

Длина вектора вычисляется по формуле

∘ -2---2---2 |⃗a|= x + y + z .

Тогда

∘--√------------- √--------- √ --- |⃗a|= (5 2)2+ (−1)2+ 72 = 50+ 1+ 49= 100 = 10.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#28675

Даны координаты вершин треугольника: $( ) ( ) ( ) | 2| |− 3| |5| A = |( 1|) ,B = |( 1 |) ,C = |(8|) 6 − 2 1$ . Требуется найти координаты любого направляющего вектора прямой, на которой лежит высота треугольника, опущенная из вершины $A$