Различные комбинации окружностей и многоугольников —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ОГЭ - Математика
Различные комбинации окружностей и многоугольников

Тема 25. Геометрическая задача повышенной сложности

25.04 Различные комбинации окружностей и многоугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача повышенной сложности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45346

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 3,$ а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $94∘$ и $131∘.$

Показать ответ и решение

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин $ABCD,$ то

AM = MB = MC = MD

Значит, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность с центром в точке $M$ и радиусом $AM.$ Пусть $AM = r.$

Так как четырехугольник вписанный, то сумма его противоположных углов равна $∘ 180 .$

$PIC$

Найдем $∠A, ∠D$ четырехугольника $ABCD :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠C = 180 − 131 = 49 ∠D = 180∘ − ∠B =180∘− 94∘ = 86∘

Так как в треугольнике $ABM$ $AM = BM,$ то он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABM = ∠BAM = 49∘

Найдем $∠MBC :$

∠MBC = ∠ABC − ∠ABM = 94∘− 49∘ = 45∘

Так как в треугольнике $MBC$ $BM = MC,$ то треугольник $MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MCB = ∠MBC = 45∘

В $△ MBC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∠BMC =180∘− ∠MBC − ∠MCB = 180∘− 45∘− 45∘ = 90∘

Тогда треугольник $MBC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

2 2 2 MB +MC = BC r2+ r2 = 9 √- r = 3√--= 3-2- 2 2

Найдем $AD :$

3√2 √- AD =AM + MD = 2r = 2⋅-2--= 3 2

Ответ:

$√ - 3 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42886

Четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 40$ и $CD =10$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причем $∠AKB = 60∘.$ Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Показать ответ и решение

Проведем $DP ∥AC.$ Тогда $∠BKA = ∠KDP = 60∘$ как соответсвенные углы, образованные параллельными прямыми $DP$ и $AC$ и секущей $BD.$

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $CDP A.$ Параллельные прямые $DP$ и $AC$ высекают на окружности равные дуги, следовательно, хорды, которые их стягивают, равны, то есть $AP = CD = 10.$

Так как $BDP A$ — вписанный четырехугольник, то сумма его противоположных углов равна $180∘,$ значит,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BDP +∠BAP = 180 ⇒ ∠BAP = 180 − 60 = 120

Рассмотрим треугольник $BAP.$ Запишем теорему косинусов для него:

BP 2 =AB2 + AP 2− 2⋅AB ⋅AP ⋅cos∠BAP 2 ∘ BP = 1600 +100− 2⋅40(⋅10 ⋅c)os120 2 1 BP = 1700 − 800⋅ −2 BP 2 = 2100 ⇒ BP = √2100-

Пусть радиус окружности равен $R.$ По теореме синусов для треугольника $BDP$

BP BP √2100 √2100 √ --- √ - sin60∘-=2R ⇒ R = 2sin60∘-= --√3- = -√---= 700 = 10 7 2⋅ 2 3

Значит, радиус окружности равен $√- 10 7.$

Ответ:

$√- 10 7$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#42125

Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD,$ если $BC = 18,$ а углы $B$ и $C$ четырехугольника равны соответственно $132∘$ и $93∘.$

Показать ответ и решение

Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин $ABCD,$ то

AM = MB = MC = MD

Значит, около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность с центром в точке $M$ и радиуса $AM.$ Пусть $AM =r.$

Так как четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна $∘ 180 .$

$PIC$

Найдем $∠A,∠D$ четырехугольника $ABCD :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A = 180 − ∠C = 180 − 93 = 87 ∠D =180∘− ∠B = 180∘− 132∘ =48∘

Так как в $△ ABM AM =BM,$ то $△ ABM$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠BAM = ∠MBA = 87∘

Найдем $∠MBC :$

∠MBC = ∠ABC − ∠MBA = 132∘− 87∘ = 45∘

Так как в $△ MBC BM = MC,$ то $△ MBC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠MBC = ∠MCB = 45∘

В $△ MBC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∠BMC =180∘− ∠MBC − ∠MCB = 180∘− 45∘− 45∘ = 90∘

Тогда $△ MBC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

MB2 +MC2 = BC2 2 2 2 r + r = 18 2r2 = 324 2 r = 162 r = 9√2

Найдем $AD :$

√- √- AD = AM + MD = r+ r =2r = 2⋅9 2= 18 2

Ответ:

$√- 18 2$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41486

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 12$ и $CD =30$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K,$ причём $∠AKB = 60∘$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $∠AKB$ и $∠CKD$ — вертикальные, то $∘ ∠AKB =∠CKD = 60 .$

Проведем прямую через точку $B,$ параллельную $AC.$ Пусть она пересекает окружность в точке $P.$

Так как $AC ∥ BP,$ то $∠ACB = ∠CBP$ как накрест лежащие при параллельных прямых.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, поэтому

1 ⌣ 1 ⌣ ∠ACB = 2AB и ∠CBP = 2CP

Так как $∠ACB = ∠CBP,$ то дуги $AB$ и $CP,$ на которые опираются эти углы, равны.

Хорды окружности, стягивающие равные дуги, равны, поэтому

CP = AB =12

Четырехугольник $DBP C$ вписанный. По свойству вписанного четырехугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠DBP + ∠DCP =180 ⇒ ∠DCP = 180 − ∠DBP =180 − 60 = 120

Рассмотрим треугольник $DCP.$ По теореме косинусов

DP 2 = DC2 + CP2 − 2DC ⋅CP ⋅cos∠DCP

Тогда

∘ ----------------------------- √------------------------ DP = DC2 + CP2− 2DC ⋅CP ⋅cos∠DCP = 900+ 144− 2⋅30⋅12⋅cos120∘ = =√900-+-144+-12-⋅30-= √1404= 6√39

Пусть $R$ — радиус окружности. В треугольнике $DCP$ по теореме синусов

DP sin∠DCP-- =2R

Найдем $R :$

---DP----- 6√39- 6√3√13- √ -- R = 2sin ∠DCP = 2⋅ √3 = √3- = 6 13 2

Ответ:

$√ -- 6 13$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел