Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки 
и 
лежат
на первой окружности, точки 
и 
— на второй. При этом 
и 
—
общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми 
и
Пусть 
и 
— центры меньшей и большей окружности соответственно. Пусть
Тогда, так как отрезки касательных, проведенных из одной точки
к окружности, равны, то 
Также 
следовательно, 
— биссектриса угла 
Так как
равнобедренный, а 
— биссектриса, то 
Аналогично
Следовательно, 
Таким образом, требуется найти
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной,
то 
следовательно, 
Проведем 
тогда 
— параллелограмм, следовательно, 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
В нем 
и
Треугольники 
подобен треугольнику 
так как 
— общий,
Тогда
так как 
как
соответственные при параллельных прямых, следовательно,
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки 
и 
лежат
на первой окружности, точки 
и 
— на второй. При этом 
и 
—
общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми 
и
Пусть 
и 
— центры меньшей и большей окружностей соответсвенно. Пусть
и 
пересекаются в точке 
Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной,
то 
и 
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по катету и гипотенузе:
— общая.
В равных треугольниках соответственные элементы равны. Тогда отрезки
касательных, проведенные из точки 
к окружности, равны, то есть
Также 
следовательно, 
— биссектриса угла
Аналогично равны прямоугольные треугольники 
и 
так как
— общая.
В равных треугольниках соответственные элементы равны. Тогда отрезки
касательных, проведенные из точки 
к окружности, равны, то есть
Также 
следовательно, 
— биссектриса угла
Таким образом, точки 
и 
лежат на одной прямой.
Пусть 
— точка пересечения 
и 
— точка пересечения 
и
Треугольник 
равнобедренный и 
— его биссектриса, следовательно,
Аналогично 
Значит, 
Таким образом, в задаче
требуется найти 
Так как 
то 
Проведем 
тогда
— прямоугольник.
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
В нем
Треугольники 
подобен треугольнику 
так как 
— общий. Тогда
Аналогично 
следовательно,
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
и 
лежат на стороне 
треугольника 
на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины 
Найдите
радиус окружности, проходящей через точки 
и 
и касающейся луча 
если 
Пусть окружность касается луча 
в точке 
По теореме о касательной и секущей
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Значит, треугольник 
— равнобедренный 
Тогда 
— угол между
касательной 
и хордой 
значит, он равен половине дуги, заключённой между ними, то есть 
Значит, 
следовательно,
Угол 
является углом треугольника, значит,
Тогда может найти 
Пусть 
— радиус описанной окружности треугольника 
По теореме синусов для треугольника 
:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции 
боковая сторона 
перпендикулярна основанию 
Окружность проходит через точки 
и 
и касается прямой 
в точке 
Найдите расстояние от точки 
до прямой 
если 
Продлим боковые стороны 
и 
до пересечения в точке 
Рассмотрим треугольник 
В нем 
является
средней линией, так как 
и 
по условию. Тогда 
и 
Заметим, что 
и 
— касательная и секущая окружности, которая проходит через точки 
и 
и касается прямой
в точке 
Тогда по теореме о касательной и секущей
Опустим высоту 
из точки 
на прямую 
Заметим, что треугольники 
и 
подобны по двум углам:
и 
— общий. Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
| Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
| Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
