Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если
По теореме о касательной и секущей
Рассмотрим треугольник Так как то По теореме косинусов
По теореме об угле между касательной и хордой
Так как то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
Тогда и
По основному тригонометрическому тождеству
Так как то поэтому
Рассмотрим треугольник По теореме синусов
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известны длины сторон точка — центр окружности, описанной около треугольника Прямая перпендикулярная прямой пересекает сторону в точке Найдите
Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за Обозначим точку пересечения с за Так как то
— диаметр описанной около окружности, поэтому так как они опираются на диаметр.
Рассмотрим и В них как общий,
Таким образом, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Рассмотрим и В них как общий, а
Таким образом, треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:
Получили:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки и Касательная к оркужности, описанной около треугольника проходит через точку и пересекает прямую в точке Найдите
Пусть Тогда
Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то как вписанный угол. Следовательно,
Рассмотрим треугольники и — общий, Тогда по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
В треугольнике по свойству биссектрисы
По теореме о касательной и секущей
Составим систему:
Решим второе уравнение системы:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне остроугольного треугольника как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту в точке — точка пересечения высот треугольника Найдите
Пусть — точка пересечения окружности с Проведём — вписанный и опирается на диаметр. Тогда то есть — высота.
В треугольнике и — высоты. По условию
Рассмотрим треугольники и — общий. Тогда по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
Продлим до пересечения с окружностью в точке
Проведём и как радиусы, следовательно, треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, поэтому
Найдём
По теореме о двух секущих
Так как по доказанному ранее, то
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки и Касательная к окружности, описанной около треугольника проходит через точку и пересекает прямую в точке Найдите
Пусть Тогда
Так как угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними, то как вписанный угол. Следовательно,
Рассмотрим треугольники и — общий, Тогда по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
В треугольнике по свойству биссектрисы
По теореме о касательной и секущей
Составим систему:
Решим второе уравнение системы:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и лежат на стороне треугольника на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся луча если
По теореме о касательной и секущей
Рассмотрим треугольник Так как то По теореме косинусов
По теореме об угле между касательной и хордой
Так как то треугольник — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому
Тогда и
По основному тригонометрическому тождеству
Так как то поэтому
Рассмотрим треугольник По теореме синусов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике биссектриса и медиана перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника
Обозначим точку пересечения и за
Рассмотрим треугольник
- 1.
- так как по условию, следовательно, — высота в треугольнике
- 2.
- так как — биссектриса
Тогда в треугольнике — биссектриса и высота, следовательно, треугольник — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника.
По свойству равнобедренного треугольника — медиана треугольника Тогда
Тогда
так как — медиана треугольника
По свойству биссектрисы треугольника
Тогда
Продлим медиану на ее длину. Пусть точка — полученная точка. Тогда
Четырехугольник — параллелограмм, так как его диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит, Следовательно, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей
поэтому Тогда по двум углам. Запишем отношение подобия:
Так как по свойству параллелограмма, то
Значит,
Тогда
Рассмотрим треугольник По теореме Пифагора
Рассмотрим треугольник В нем По теореме Пифагора
Найдем стороны треугольника
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известны длины сторон точка – центр окружности, описанной около треугольника Прямая перпендикулярная прямой пересекает сторону в точке Найдите
Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за
Обозначим точку пересечения с за Так как то
– диаметр описанной около окружности, поэтому:
так как они опираются на диаметр.
Рассмотрим и
- 1.
- как общий;
- 2.
по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
Рассмотрим и
- 1.
- как общий;
- 2.
по двум углам. Запишем коэффициент подобия:
Получили:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке длина стороны относится к длине стороны как Найдите отношение площади треугольника к площади треугольника
Пусть тогда Пусть также Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих, то
Так как биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, прокорциональные прилежащим сторонам, то Заметим, что и имеют общую высоту, проведенную из вершины Следовательно, их площади относятся как основания, то есть
Следовательно,
Следовательно,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины в отношении считая от точки Найдите радиус окружности, описанной около треугольника если
По свойству биссектрисы угла треугольника Следовательно, Тогда
Тогда по теореме синусов
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Ход решения верный, получен верный ответ | 2 |
Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |