Окружности и вписанные четырёхугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ОГЭ - Математика
Окружности и вписанные четырёхугольники

Тема 24. Геометрическая задача на доказательство

24.04 Окружности и вписанные четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#48479

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.

Показать ответ и решение

$PIC$

$∠ABD = ∠ACD$ и опираются на один отрезок $AD.$ Тогда по признаку вписанного четырёхугольника $ABCD$ — вписанный.

По свойству вписанного четырёхугольника углы, опирающиеся на одну сторону, равны, следовательно, $∠DAC = ∠DBC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42836

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $CDB$ и $CAB$ равны. Докажите, что углы $BCA$ и $BDA$ также равны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $∠CDB = ∠CAB,$ и они опираются на один отрезок $BC,$ то по критерию вписанности четырехугольника $ABCD$ — вписанный.

Тогда $∠BCA = ∠BDA$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AB.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#27830

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $DAC$ и $DBC$ равны. Докажите, что углы $CDB$ и $CAB$ также равны.

Показать ответ и решение

В четырехугольнике $ABCD$ углы, опирающиеся на сторону $CD$ равны, значит, четырехугольник $ABCD$ — вписанный. Тогда углы, опирующиеся на сторону $BC$ также равны, то есть $∠CDB = ∠CAB.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#48405

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M.$ Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $∠ADC =α.$ Тогда $∠ABC = 180∘− ∠ADC = 180∘− α,$ так как сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180∘.$

Сумма смежных углов равна $180∘,$ поэтому

∠MBC = 180∘− ∠ABC = 180∘− (180∘ − α) =α

Рассмотрим треугольники $MBC$ и $MDA.$ $∠M$ — общий, $∠MBC = ∠MDA = α.$

Таким образом, треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны по двум углам.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26573

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L,$ причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL.$ Докажите, что $P Q ⊥ KL.$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Проведём отрезки $P L,$ $PK,$ $QL$ и $QK.$

$PIC$

Тогда $P L= P K$ как радиусы окружности с центром в точке $P,$ $QL =QK$ как радиусы окружности с центром в точке $Q.$ Рассмотрим треугольники $PQL$ и $P QK.$ В них $PQ$ — общая сторона, $P L= P K,$ $QL = QK.$ Тогда треугольники $P QL$ и $PQK$ равны по трём сторонам. Следовательно, $∠LPQ = ∠KP Q$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $PKL.$ В нём $P Q$ — биссектриса, проведённая к основанию, следовательно, и высота. Значит, $PQ ⊥ LK.$

Способ 2.

Пусть $M$ — середина хорды $KL.$ Проведём отрезки $P L,$ $P K,$ $QL$ и $QK.$

$PIC$

В треугольнике $PKL :$ $PL = PK$ как радиусы окружности с центром в точке $P,$ поэтому треугольник $PKL$ равнобедренный. Тогда по свойству равнобедренного треугольника медиана $PM,$ проведённая к основанию, является высотой, то есть $P M ⊥ KL.$

В треугольнике $QKL :$ $QL = QK$ как радиусы окружности с центром в точке $Q,$ поэтому треугольник $QKL$ равнобедренный. Значит, $QM$ — медиана и высота, и $QM ⊥ KL.$

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Прямые $PM$ и $QM$ перпендикулярны прямой $KL$ и проходят через точку $M,$ значит, точки $P,$ $Q,$ $M$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $KL.$ Значит, $P Q⊥ KL.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43941

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m :n.$ Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m :n.$

Показать ответ и решение

Пусть внутренная общая касательная касается окружности с центром в точке $I$ в точке $A,$ окружности с центром в точке $J$ в точке $B.$ Обозначим за $K$ точку пересечения $IJ$ и $AB.$ По условию $ABKK-= mn.$

Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

∠IAK = ∠JBK =90∘

$PIC$

Рассмотрим треугольники $KAI$ и $KBJ.$ $∠KAI = ∠KBJ = 90∘,$ $∠AKI = ∠BKJ$ как вертикальные. Тогда $△ KAI ∼△KBJ$ по двум углам. Запишем коэффициент подобия:

AK--= AI-= -KI = m- ⇒ AI-= m- BK BJ KJ n BJ n

Пусть $D1$ — диаметр окружности с центром в точке $I,$ $D2$ — диаметр окружности с центром в точке $J.$ Тогда

D1 2AI AI m D2-= 2BJ-= BJ- = n-

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#42486

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $m :n$ . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как $m :n.$

Показать ответ и решение

Пусть $P$ — центр первой окружности, $Q$ — центр второй, $A$ и $B$ — точки касания общей касательной с первой и второй окружностями соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения $P Q$ и $AB.$ Тогда по условию $P O :OQ = m :n.$

Проведем радиусы $PA$ и $QB.$ Так как $AB$ — общая касательная к окружностиям, то

∠P AB = ∠QBA = 90∘

$PIC$

Заметим, что $∠P OA = ∠QOB$ как вертикальные. Тогда треугольники $POA$ и $QOB$ подобны по двум углам, следовательно,

PA-= P-O = m- QB OQ n

Диаметр любой окружности равен ее удвоенному радиусу, то есть

d1 =2r1 = 2P A и d2 =2r2 = 2QB

Тогда

d1 = 2PA-= P-A = m- d2 2QB QB n

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26596

Окружности с центрами в точках $O$ и $Q$ не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении $a:b.$ Докажите, что радиусы этих окружностей относятся как $a:b.$

Показать ответ и решение

Обозначим точки касания за $L$ и $M,$ а точку пересечения касательной и прямой $QO$ за $P.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $PQM$ и $POL.$ Они подобны по двум углам: $∠QP M = ∠OP L$ как вертикальные, $∘ ∠P MQ =∠P LO = 90$ как углы между касательной и радиусом. Тогда

QM QP MP OL--= OP- = LP--

Из условия известно, что $QP :P O = a :b,$ тогда

QM--= QP- = a OL P O b

При этом $QM$ и $OL$ — радиусы окружностей, то есть радиусы этих окружностей относятся как $a:b,$ что и требовалось доказать.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел