Четырёхугольники —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 24. Геометрическая задача на доказательство

24.03 Четырёхугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрическая задача на доказательство

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44294

Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 5 и 45, $BD = 15.$ Докажите, что треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны.

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $CBD$ и $BDA :$

1.: Так как $BC ∥ AD,$ то $∠CBD =∠BDA$ как внутренние накрест лежащие.
2.: $CB 5 15 BD BD- = 15-= 45 = AD-.$

Тогда $△ CBD ∼ △BDA$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#43616

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $CLO$ и $ANO :$

1.: $AO = OC,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам;
2.: $∠COL = ∠AON$ как вертикальные;
3.: $∠LCO = ∠NAO$ как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC.$

$PIC$

Тогда треугольники $CLO$ и $ANO$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, $CL = AN$ как соответственнные элементы равных треугольников.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#38724

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $G$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AG$ равны.

Показать ответ и решение

Проведем $CK ∥ LG,$ $K ∈ AD.$ Тогда $GLCK$ — параллелограмм, так как его противоположные стороны параллельны. Следовательно, $LC = GK.$

$PIC$

Так как $OG ∥CK$ и $O$ — середина $AC,$ то по теореме Фалеса $G$ — середина $AK,$ следовательно, $GK = AG.$

Таким образом, $AG =GK = CL.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#45960

В параллелограмме $ABCD$ проведены высоты $BH$ и $BE$ к сторонам $AD$ и $CD$ соответственно, при этом $BH =BE.$ Докажите, что $ABCD$ — ромб.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённой к этому основанию, поэтому

SABCD = AD ⋅BH SABCD = CD ⋅BE

Значит, $AD ⋅BH = CD ⋅BE.$

Так как $BH =BE,$ то $AD = CD$

По свойству параллелограмма $AB = CD,$ $AD =BC.$ Так как $AD = CD,$ то $AB = BC =CD = DE.$ Значит, $ABCD$ — ромб по определению.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#50264

В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P.$ Докажите, что площади треугольников $AP B$ и $CP D$ равны.

Показать ответ и решение

Опустим высоты $BH$ и $CK$ трапеции $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD.$ В них проведены высоты $BH$ и $CK$ соответственно. Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, то

SABD = 1AD ⋅BH 2 SACD = 1AD ⋅CK 2

$BH = CK$ как расстояние между двумя параллельными прямыми. Значит, $SABD = SACD.$

Так как $SABD = SAPD + SAPB$ и $SACD = SAPD + SCPD,$ то

S = S − S = S − S = S APB ABD APD ACD APD CPD

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#54131

Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB.$ Точка $G$ — середина стороны $AD.$ Докажите, что $BG$ — биссектриса угла $ABC.$

Показать ответ и решение

Так как $G$ — середина $AD,$ то $AG = GD.$ По условию $AD = 2AB,$ значит,

AG = GD = AB

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ABG.$ $AB = AG,$ следовательно, треугольник $ABG$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠ABG = ∠AGB.$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и $AD ∥ BC,$ то $∠CBG =∠BGA.$

Таким образом,

∠ABG =∠BGA = ∠CBG

Значит, $BG$ — биссектриса $∠ABC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46331

Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD.$ Точка $K$ — середина стороны $AB.$ Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC.$

Показать ответ и решение

Так как $K$ — середина $AB,$ то $AK =KB.$ По условию $AB = 2AD,$ значит,

KB = AK = AD

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AKD.$ $AK = AD,$ следовательно, треугольник $AKD$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKD =∠ADK.$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, и $AB ∥ CD,$ то $∠AKD = ∠KDC.$

Таким образом,

∠ADK = ∠AKD = ∠KDC

Значит, $DK$ — биссектриса $∠ADC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41520

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K,$ лежащей на стороне $BC.$ Докажите, что $K$ — середина $BC.$

Показать ответ и решение

Углы $∠BAK$ и $∠DAK$ равны, так как $AK$ — биссектриса. Также углы $∠CDK$ и $∠ADK$ равны, так как $DK$ — биссектриса.

$PIC$

Противоположные стороны в параллелограмме параллельны, поэтому $∠DAK = ∠AKB$ и $∠ADK = ∠DKC$ как накрест лежащие. Получаем два равнобедренных треугольника $ABK$ и $DCK.$

В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AB = CD,$ в силу равнобедренности треугольников $BK = CK.$ Тогда точка $K$ — середина стороны $BC.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40201

Биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K,$ лежащей на стороне $CD.$ Докажите, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB, BC$ и $AD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Проведем перпендикуляры $KH1, KH2, KH3$ из точки $K$ к прямым $AD, AB, BC$ соответственно.

∠AH1K = ∠DH1K = 90∘ ∘ ∠AH2K = ∠BH2K = 90 ∠BH3K = ∠CH3K = 90∘

Требуется доказать, что точка $K$ равноудалена от прямых $AB,BC$ и $AD,$ то есть, что длины перпендикуляров из точки $K$ к этим прямым равны, то есть:

KH1 = KH2 =KH3

Рассмотрим $△ AH1K$ и $△ AH2K :$

1.: $∠H1AK =∠H2AK, так как AK – биссектриса ∠DAB;$
2.: $∘ ∠AH1K =∠AH2K = 90$
3.: $AK$ – общая сторона.

$△AH1K$ = $△ AH2K$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда $KH1 =KH2$ как соответственные элементы равных треугольников.

Рассмотрим $△ BH2K$ и $△ BH3K :$

1.: $∠H2BK = ∠H3BK, так как BK – биссектриса ∠CBA;$
2.: $∠BH2K = ∠BH3K =90∘;$
3.: $BK$ – общая сторона.

$△BH2K$ = $△ BH3K$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда $KH2 =KH3$ как соответственные элементы равных треугольников.

Получаем:

KH = KH =KH 1 2 3

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#45961

В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K.$ Докажите, что площадь параллелограмма $ABCD$ в четыре раза больше площади треугольника $AKD.$

Показать доказательство

Проведём через точку $K$ высоту $MN$ параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $MKB$ и $NKD :$

1.: $∠MBK = ∠NDK$ как накрест лежащие при параллельных прямых;
2.: $∠MKB = ∠NKD$ как вертикальные;
3.: $BK = KD,$ так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Тогда треугольники $MKB$ и $NKD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. $KM = KN = 12MN$ как соответственные элементы равных треугольников.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

1 1 1 SAKD = 2KN ⋅AD = 2 ⋅2MN ⋅AD = 1 1 = 4MN ⋅AD = 4SABCD ⇒ SABCD = 4SAKD

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41521

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BF C$ и $AF D$ равна половине площади параллелограмма.

Показать ответ и решение

Проведем высоту в $△ BFC$ $F K,$ в $△ AF D$ высоту $F M.$ По формуле площади треугольника

1 1 SBFC = 2BC ⋅FK, SAFD = 2AD ⋅F M

$PIC$

Тогда

SBFC +SAFD = 1 BC ⋅FK + 1AD ⋅F M 2 2

По свойству параллелограмма противоположные стороны равны, то есть $BC =AD,$ поэтому

1 1 1 SBFC + SAFD = 2BC ⋅FK + 2BC ⋅F M = 2BC ⋅(F K +F M )

По определению параллелограмма $BC ∥AD,$ по построению $FK ⊥ BC$ и $F M ⊥ AD,$ поэтому по свойству параллельных прямых $FM ⊥ BC.$ Так как $F M$ и $FK$ имеют общую точку $F$ и перпендикулярны прямой $BC,$ то $F M$ и $FK$ лежат на одной прямой, поэтому: $FM + FK =KM.$ Таким образом,

SBFC + SAFD = 1BC ⋅(FK + FM )= 1 BC ⋅KM 2 2

При этом $KM$ – высота параллелограмма $ABCD,$ так как $KM ⊥ BC,$ $KM ⊥ AD,$ поэтому по формуле площади параллелограмма

SABCD =BC ⋅KM

Получаем

1 1 SBFC + SAFD = 2BC ⋅KM = 2SABCD

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#37458

На средней линии трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ выбрали произвольную точку $F.$ Докажите, что сумма площадей треугольников $BF C$ и $AF D$ равна половине площади трапеции.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $MN$ — средняя линия. Так как $F ∈ MN,$ то расстояние от точки $F$ до оснований трапеции одинаково, то есть $FH1 = FH2.$

Действительно, $FH1 ⊥ BC,$ $FH2 ⊥ AD,$ $BC ∥ AD,$ следовательно, точки $H1,$ $F$ и $H2$ лежат на одной прямой. Тогда по теореме Фалеса для $CD,$ $H1H2$ и $BC,$ $MN$ и $AD :$ так как $CN = ND,$ то $1 H1F = FH2 = 2H1H2,$ где $H1H2$ — высота трапеции.

Тогда

SBFC + SAFD = 1F H1⋅BC + 1F H2⋅AD = 2 2 = 1 ⋅ 1H1H2(BC + AD )= 1⋅ BC-+-AD-⋅H1H2 2 2 2 2

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#44721

Точка $K$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD.$ Докажите, что площадь треугольника $ABK$ равна сумме площадей треугольников $BCK$ и $AKD.$

Показать ответ и решение

Опустим перпендикуляры $KH$ и $KM$ из точки $K$ на прямые $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда $KH ⊥BC,$ $KM ⊥ AD.$ $BC ∥AD,$ следовательно $KH ⊥ AD.$ Так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, то точки $K,$ $H,$ $M$ лежат на одной прямой, то есть $HM$ — высота трапеции $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $KHC$ и $KMD.$ В них $∠KHC = ∠KMD = 90∘,$ $CK = KD$ по условию, $∠HKC = ∠MKD$ как вертикальные. Тогда треугольники $KHC$ и $KMD$ равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $KH = KM$ как соответственные элементы равных треугольников.

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, то

S = 1BC ⋅KH BCK 2 1 1 SAKD = 2AD ⋅KM = 2AD ⋅KH

Значит,

SBCK +SAKD = 1(BC ⋅KH + AD ⋅KH )= 2 1 1 = 2KH ⋅(BC +AD )= 4 HM ⋅(BC + AD )= ( ) = 1 HM ⋅ BC-+-AD = 1SABCD 2 2 2

Так как $SABK + SBCK + SAKD = SABCD,$ то

SABK =SABCD − (SBCK + SAKD)= 1 1 = SABCD − 2SABCD = 2 SABCD = SBCK +SAKD

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#45959

Дана равнобедренная трапеция $ABCD.$ Точка $M$ лежит на основании $AD$ и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что $M$ — середина основания $AD.$

Показать ответ и решение

Так как точка $M$ равноудалена от концов основания $BC,$ то $BM = MC.$ Тогда треугольник $BMC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠MBC =∠MCB.$

$PIC$

Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, то

∠AMB = ∠MBC = ∠MCB = ∠CMD

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому $∠BAD = ∠CDA.$

По теореме о сумме углов треугольника

∠ABM = 180∘− ∠BAM − ∠BMA = = 180∘− ∠CDM − ∠CMD = ∠DCM

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $CDM.$ $AB = CD,$ так как трапеция равнобедренная, $BM = CM,$ $∠ABM =∠DCM.$ Тогда треугольники $BAM$ и $CDM$ равны по двум сторонам и углу между ними. $AM = MD$ как соответственные элементы равных треугольников. Значит, точка $M$ — середина основания $AD.$

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42124

Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$ , а $MC = MD.$ Докажите, что трапеция $ABCD$ прямоугольная.

Показать ответ и решение

Отметим точку $E$ — середину $CD.$

Так как точка $M$ — середина $AB,$ то $ME$ — средняя линия трапеции $ABCD.$

$PIC$

По свойству средней линии трапеции

ME ∥BC ∥ AD

Рассмотрим $△ CMD.$ Так как $MC = MD,$ то $△ CMD$ — равнобедренный.

$ME$ — медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. По свойству медианы в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию, $ME$ — высота.

Тогда

ME ⊥ CD

Так как перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой прямой, то

CD ⊥AD

Тогда

∠ADC = 90∘,

то есть трапеция $ABCD$ — прямоугольная.

Ответ: Задача на доказательство

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы	2

Доказательство в целом верное, но содержит неточности	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел