Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике проведены высоты и Докажите, что углы и равны.
Треугольник остроугольный по условию, значит, точки и лежат на сторонах и соответственно.
Рассмотрим четырехугольник Заметим, что углы и являются прямыми и опираются на одну и ту же сторону — сторону значит, четырехугольник является вписанным. Тогда углы, опирающиеся на дугу равны, то есть
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике проведены высоты и Докажите, что углы и равны.
Способ 1.
Так как и — высоты, то:
Обозначим точку пересечения и за — остроугольный, поэтому точка пересечения высот лежит внутри треугольника.
Рассмотрим и
- 1.
- 2.
- как вертикальные углы.
по двум углам.
Запишем коэффициент подобия:
Рассмотрим и
- 1.
- как вертикальные углы;
- 2.
- из подобия и
по двум сторонам и углу между ними. Тогда:
как соответственные углы подобных треугольников.
Так как то
Способ 2.
Так как и — высоты, то
Так как и оба угла опираются на отрезок то четырехугольник — вписанный.
Следовательно, как вписанные углы, опирающиеся на дугу
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке Докажите, что углы и равны.
Так как и — высоты, то:
Рассмотрим треугольники и Так как как вертикальные, то треугольники и подобны по двум углам.
Запишем отношение подобия:
Рассмотрим треугольники и
- 1.
- как вертикальные;
- 2.
Тогда треугольники и подобны по двум сторонам и углу между ними. как соответственные углы подобных треугольников. Значит,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке Докажите, что углы и равны.
Так как и — высоты, то При этом и опираются на один отрезок Значит, по признаку вписанного четырёхугольника около четырёхугольника можно описать окружность.
Так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, а и опираются на дугу то
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике с тупым углом проведены высоты и Докажите, что треугольники и подобны.
Так как и — высоты, то и опираются на один отрезок и равны, поэтому по признаку вписанного четырёхугольника — вписанный. и вписанные и опираются на одну дугу Тогда
Рассмотрим треугольники и как вертикальные, Тогда треугольники и подобны по двум углам.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике с тупым углом проведены высоты и Докажите, что треугольники и подобны.
Способ 1.
Так как — тупой, то точки и лежат на продолжении сторон и соответственно.
Так как и — высоты, то
Рассмотрим и
- 1.
- 2.
- как вертикальные углы.
по двум углам.
Запишем коэффициент подобия:
Рассмотрим и
- 1.
- как вертикальные углы;
- 2.
- из подобия и
по двум сторонам и углу между ними.
Способ 2.
и опираются на отрезок и Тогда около четырёхугольника можно описать окружность.
так как они вписанные и опираются на дугу
Рассмотрим треугольники и Так как как вертикальные. Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике известны длины сторон точка — центр окружности, описанной около треугольника Прямая перпендикулярная прямой пересекает сторону в точке Найдите
Продлим до пересечения с описанной окружностью треугольника Обозначим полученную точку за Проведём и
— диаметр описанной около треугольника окружности, поэтому так как они опираются на диаметр.
Обозначим точку пересечения с за
Треугольники и подобны по двум углам ( — общий, ). Запишем отношение подобия:
Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам ( — общий, ). Запишем отношение подобия:
Получили:
Тогда
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На стороне треугольника отмечены точки и так, что Докажите, что если то
Рассмотрим треугольник Если в нем то он равнобедренный. Тогда углы при его основании равны, то есть
Углы, смежные равным, равны, значит,
Рассмотрим треугольники и В них и по условию, и значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно,
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В равностороннем треугольнике точки — середины сторон соответственно. Докажите, что треугольник — равносторонний.
Способ 1
По условию и — середины сторон соответственно. Тогда и — средние линии треугольника Значит,
Так как — равносторонний треугольник, в нем следовательно, Значит, треугольник является равносторонним.
Способ 2
Треугольник — равносторонний, значит,
Также
Рассмотрим треугольники и Они равны по первому признаку равенства треугольников, так как и Аналогично равны треугольники и и
В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, Значит, треугольник является равносторонним.
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
Доказательство верное, все шаги обоснованы | 2 |
Доказательство в целом верное, но содержит неточности | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 2 |