Задачи на движение по воде —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 21. Текстовые задачи

21.02 Задачи на движение по воде

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42460

Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость баржи равна $x$ км/ч, тогда скорость баржи по течению равна $(x +5)$ км/ч, а против — $(x − 5)$ км/ч.

За 8 часов баржа прошла 64 км по течению со скростью $(x +5)$ км/ч и 48 км против течения со скоростью $(x− 5)$ км/ч.

Тогда можем составить следующее уравнение

-64--+ -48--=8 x +5 x− 5 64⋅(x− 5)+48 ⋅(x +5)= 8 ⋅(x+ 5)(x− 5) 2 64x − 64⋅5+ 48x + 48 ⋅5= 8x − 8⋅25 8 ⋅8x − 64⋅5+ 8⋅6x+ 48⋅5= 8x2− 40⋅5 8x2− 8⋅14x+ 5⋅(64− 48− 40) =0 2 8x − 8 ⋅14x − 5⋅24= 0 x2− 14x− 15= 0 D = (−14)2+4 ⋅15 = 196 + 60 = 256 = 162

Отсюда

14-+16 14-− 16 x= 2 = 15 или x= 2 = −1.

Скорость — величина неотрицательная, значит, ответ 15 км/ч.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#40196

Баржа прошла по течению реки 56 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость баржи за $x$ км/ч, $x >0.$ Тогда скорость баржи по течению равна сумме скорости баржи и скорости течения, то есть $(x+ 5)$ км/ч; скорость баржи против течения равна разности скорости баржи и скорости течения, то есть $(x− 5)$ км/ч.

56 км баржа прошла по течению. Время, которое она на это затратила:

--56--ч x + 5

После этого баржа прошла 54 км против течения. Время, которое она на это затратила:

54 x-− 5-ч.

Общее время, которое баржа затратила, по условию равно 5 ч:

-56--+ -54--=5 x +5 x− 5 -56-- -54-- x+ 5 + x − 5 − 5= 0

Приведем к общему знаменателю:

56(x−-5)+-54(x+-5)−-5(x+-5)(x−-5)= 0, x⁄= ±5 (x+ 5)(x − 5) 56x− 56⋅5+ 54x+ 54⋅5− 5x2+ 125 ---------(x+-5)(x-− 5)---------= 0 56x− 56⋅5+ 54x+ 54⋅5− 5x2+ 125 = 0 2 110x− 5⋅(56− 54)− 5x + 125= 0 110x− 10− 5x2+ 125 =0 2 − 5x +110x+ 115= 0 x2− 22x− 23= 0 D =222+ 4⋅23= 484+ 92= 576= 242 √ -- x1,2 = −b±--D-= 22±-24 2a 2 x1 = − 1 – не соответствует условию x> 0 x = 23 2

Таким образом, скорость баржи равна 23 км/ч.

Ответ: 23 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37875

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 45 км. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B,$ тотчас повернула обратно и возвратилась в $A.$ К этому времени плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки равна $x$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна $x +4$ км/ч, скорость лодки против течения равна $x − 4$ км/ч.

Так как скорость плота равна 4 км/ч, то время, за которое плот проплыл 28 км, равно

-28-км-= 7 ч 4 км/ ч

Так как моторная лодка отправилась из пункта $A$ на час позже, то время, за которое моторная лодка проплыла из пункта $A$ в пункт $B,$ а затем вернулась в $A,$ равно

7− 1 ч= 6 ч

С другой стороны, так как скорость лодки по течению равна $x+ 4$ км/ч, скорость против течения — $x − 4$ км/ч, а расстояние между $A$ и $B$ равно 45 км, то время, которое лодка затратила, чтобы добраться из пункта $A$ в пункт $B$ , а затем обратно из пункта $B$ в пункт $A,$ равно

-45-- -45-- x+ 4 + x− 4 ч

Получаем уравнение:

-45--+ -45--=6 x +4 x− 4

Приведём к общему знаменателю:

45(x−-4)+-45(x-+4)−-6(x+-4)(x-− 4)-=0 ⇔ ( (x+ 4)(x − 4) |{45x − 45⋅4 +45x +45⋅4 − 6(x2− 16)= 0 ⇔ x ⁄= 4 ⇔ |(x ⁄= −4 ( ( |{ 90x − 6x2 +6 ⋅16 = 0 |{15x− x2+ 16= 0 ⇔ x⁄= 4 ⇔ x ⁄= 4 |( x⁄= −4 |(x ⁄= −4

Найдём корни первого уравнения по теореме Виета:

{ 2 2 x = 16 15x− x +16= 0 ⇔ x −15x− 16 = 0 ⇒ x = −1 — не подходит по смыслу задачи

Значит, учитывая ОДЗ системы, скорость лодки в неподвижной воде равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37873

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде $x$ км/ч. Составим таблицу:


	$S,$ км	$v,$ км/ч	$t,$ ч

По течению	132	$x + 5$	$132 x+5$

Против течения	132	$x − 5$	$132 x−5$

По условию на путь по течению лодка затратила на 5 часов меньше. Тогда

-132-+ 5= -132- ⇔ x +5 x − 5 132(x−-5)+-5(x-− 5)(x+-5)−-132(x+-5) ⇔ (x+ 5)(x − 5) = 0 ⇔ 2 ⇔ 132x−-132⋅5+-5x-−-125-− 132x−-132⋅5 = 0 ⇔ (x+ 5)(x − 5) 5x2−-132-⋅5−-132-⋅5−-125- ⇔ (x+ 5)(x − 5) = 0 ⇔ { 2 ⇔ 5x − 132⋅5 − 132⋅5 − 125= 0 ⇔ (x +5)(x− 5)⁄= 0 ( 2 |{ x − 132 − 132− 25= 0 ⇔ |( x+ 5⁄= 0 ⇔ x− 5⁄= 0 (| 2 [ { x = 289 x =17 ⇔ |( x⁄= − 5 ⇔ x =− 17— не подходит по смыслу задачи x⁄= 5

Значит, скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч.

Ответ: 17 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37868

Теплоход идёт по течению реки в 5 раз медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 9 раз быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз собственная скорость скутера больше собственной скорости теплохода? (Собственная скорость — скорость в неподвижной воде).

Показать ответ и решение

Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна $x км/ч,$ а скорость течения реки равна $y км/ч.$ Тогда скорость теплохода по течению $(x+ y) км/ч,$ отсюда скорость скутера против течения $5⋅(x + y) км/ч,$ а собственная скорость скутера — $(5 ⋅(x+ y)+ y) км/ ч.$

Скорость теплохода против течения $(x− y) км/ч,$ отсюда скорость скутера по течению $9⋅(x− y) км/ч,$ а собственная скорость скутера — $(9 ⋅(x− y)− y) км/ ч.$

Имеем уравнение:

5 ⋅(x +y)+ y = 9 ⋅(x − y)− y 5x+ 5y+ y = 9x − 9y − y 16y = 4x 4x x y = 16 = 4

Тогда собственная скорость скутера равна:

( x) x x 3x 10x+ 3x 13x 5⋅(x + y)+ y = 5⋅ x + 4 + 4 = 5x+ 6⋅4 = 5x+-2 =---2---= -2-км/ч.

Найдем отношение собственной скорости скутера к собственной скорости теплохода:

13x 1 13 1 2 ⋅x = 2 = 62 = 6,5

Ответ: 6,5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#37866

Туристы на моторной лодке прошли два часа против течения реки, после чего повернули обратно и 12 минут шли по течению, выключив мотор. Затем они включили мотор и через один час после этого прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость лодки неподвижной воде (собственная скорость лодки) и скорость течения реки считаются постоянными.

Показать ответ и решение

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна $x км/ч,$ а скорость течения реки равна $y км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению $(x+ y) км/ч,$ а против течения — $(x− y) км/ч.$

Расстояние, которое туристы проплыли против течения равно $2⋅(x− y) км,$ обратно они проплыли столько же.

Получаем следующее уравнение:

12 ⋅y+ (x + y) ⋅1 = 2⋅(x − y) 60 12y+ 60x+ 60y = 120x− 120y 192y = 60x y = 60x 192

Найдем отношение собственной скорости лодки к скорости течения:

-192 ⋅x= 192 = 312= 31 = 3,2 60x 60 60 5

Ответ: 3,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#25042

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость теплохода в неподвижной воде за $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $(x +5)$ км/ч, против течения — $(x− 5)$ км/ч.

Расстояние до пункта назначения равно 80 км, то есть время, потраченное на путь по течению, равно $8x+05-$ часов, против течения — $x8−05$ часов.

Стоянка длится 23 часа и с учетом этого времени на всю дорогу было потрачено 35 часов, то есть

-80-- -80-- x +5 + x− 5 + 23= 35

Решим полученное уравнение:

80 80 x-+5-+ x−-5 + 23= 35 80 80 x-+5-+ x−-5-=12 20 20 x+-5 + x-− 5-= 3

По смыслу задачи $x > 5,$ то есть $x+ 5> 0$ и $x − 5> 0,$ а значит можно домножить обе части уравнения на $(x− 5)(x+ 5).$ Получим:

20(x− 5)+ 20(x+ 5)= 3(x− 5)(x+ 5) 2 20x − 100 +20x +100= 3(x − 25) 40x = 3x2− 75 2 3x − 40x− 75= 0 D = (− 40)2− 4⋅3⋅(−75)= 1600+ 900= 2500= 502 40± 50 20 ± 25 x= -2-⋅3- = --3--- ⌊ 20+25 45 ⌈x = 3 = 3 = 15 x = 20−325= − 53

Заметим, что $x = − 53 < 0$ не подходит по смыслу задачи. Таким образом, получаем одно подходящее решение $x = 15.$

Тогда скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел