Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна как сумма соответственных углов при параллельных прямых, так как и острые углы, и тупые углы равны между собой. Значит, в сумме из условия участвует два одинаковых угла, каждый из которых равен Таким образом, мы нашли величину острого угла трапеции, а это означает, что больший угол равен

Найдем угол

Так как трапеция равнобокая, то также равен По сумме углов в треугольнике найдём величину угла

Проведём вторую высоту в трапеции. Получим прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Таким образом, большее основание равно

Заметим, что сумма острого и тупого угла прямоугольной трапеции равна как сумма соответственных углов. Поэтому единственный острый угол равен

Он и является наименьшим углом трапеции.

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна как сумма соответственных углов при параллельных прямых. Поэтому больший угол трапеции равен

Пусть — середина . Рассмотрим треугольник . По условию . Отсюда видно, что этот треугольник равнобедренный. , тогда . — параллелограмм, так как , , потому что — соответственные при параллельных прямых. Тогда , но в то же время , значит, треугольник — равнобедренный с углом . Поймем, что , тогда .

Сделаем дополнительное построение. — отрезок, параллельный . Из того, что и следует, что — параллелограмм, а значит, . Рассмотрим треугольник , в нем: и проходит через середину , получается, что — средняя линия в треугольнике и значит, равна .

, — середины и . Поймем для начала, что точки , , лежат на одной прямой. Почему это так? , а значит, . Аналогично , а значит, , то есть точки , , также лежат на одной прямой. и , а значит, , получается — параллелограмм.

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие при и секущей как вертикальные. Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда

значит, трапеция равнобедренная. Так как углы при основании равнобедренной трапеции равны, то

В треугольнике по теореме о сумме углов треугольника

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольники и как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и то есть Тогда по двум углам.

Запишем отношение подобия:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Найдем среднюю линию трапеции:

, следовательно, . Так как трапеция равнобедренная, то , , следовательно, — ответ.

Пусть — средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции:

Обозначим точку пересечения и за

По теореме Фалеса для параллельных прямых и

Тогда — средняя линия в треугольнике По свойству средней линии

— средняя линия в треугольнике По свойству средней линии

Требуется найти больший из отрезков и значит, ответ

Пусть высота, проведенная из вершины пересекает основание в точке высота, проведенная из вершины пересекает основание в точке

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Так как и то

Рассмотрим четырехугольник

1.

2.

как основания трапеции

Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и

1.

так как

2.

так как трапеция равнобедренная;

3.

как углы при основании равнобедренной трапеции.

Тогда по гипотенузе и острому углу, как соответственные элементы.

По условию

Воспользуемся свойством равнобедренной трапеции: у равнобедренной трапеции углы при основании равны.

Так как сумма больших углов то – сумма двух меньших углов при основании. Так как они равны, то меньший угол при основании равен то есть Сумма внутренних односторонних углов равна поэтому больший угол трапеции равен

В трапеции сумма углов, прилежащих боковой стороне, равна Тогда если один из таких углов равен то другой равен

Оставшиеся два угла равны так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен

Найдем угол

Так как — равнобедренная трапеция,

Значит больший угол равен

Для равнобедренной трапеции имеем:

По сумме углов треугольника получаем

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна