Систему можно переписать в виде

Сделаем замену Тогда новая система

должна также иметь единственное решение.

Заметим, что не является решением неравенства следовательно, можно разделить обе части двойного неравенства на Получим:

Пусть Тогда неравенство

должно иметь единственное решение

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна точка вида , принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством .

Рассмотрим функции и в системе координат Тогда решением неравенства будут являться те части плоскости которые находятся не ниже параболы (то есть это точки на границе параболы или внутри параболы) и не выше параболы (то есть это точки на границе параболы и внутри параболы). Следовательно, получаем следующую область:

Заметим, что нам подходят только два положения горизонтальной прямой при которых эта прямая с множеством имеет ровно одну общую точку. Эти прямые — прямая, проходящая через точку (абсцисса которой положительна) пересечения парабол и и прямая, проходящая через вершину параболы

Вершина параболы — точка

Найдем координаты точки

Следовательно, эти прямые задаются уравнениями и то есть подходящие нам значения параметра — это