Метод xOa (параметр как вторая неизвестная) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Тема 18. Задачи с параметром

18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31563

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2 x + ax +13x− 6= 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

В данное уравнение параметр $a$ входит в первой степени, следовательно, уравнение легко можно переписать в виде $a= a(x)$ (то есть выразить $a$ через $x$ ). Сделаем это.

Заметим, что $x = 0$ не является решением уравнения, следовательно, разделим обе части равенства на $x2$ и получим

a =a(x)= −x − 13+ -6 x x2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна точка вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $a(x)= −x − 13x-+ 6x2$ в системе координат $xOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

3 a′(x)= −1 + 132 − 123 = − x-−-13x3+-12= − (x−-1)(x−33)(x-+-4) x x x x

Следовательно, производная равна нулю в точках $x = −4;1;3$ и не существует в точке $x= 0$ . Определим знаки производной на промежутках, на которые эти точки разбивают область определения производной:

$PIC$

При $x∈ (−∞; −4)∪ (0;1)∪(3;+∞ )$ функция $a =a(x)$ убывает, при $x ∈(−4;0)∪ (1;3)$ функция возрастает.

При $x→ 0$ имеем $a→ + ∞$ , при $x → −∞$ имеем $a → +∞$ , при $x→ +∞$ имеем $a→ − ∞$ .

61 a(− 4) = 8 a(1)= − 8 20 a(3)= − 3-

Значит, схематично график ее выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, ровно одну точку пересечения с графиком имеет горизонтальная прямая $a= a0$ , если $a0 ∈(−∞; a(1))∪ (a(3);a(−4))$ , то есть при $a ∈(−∞; −8)∪ (− 20; 61) 3 8$ .

Ответ:

$a ∈(−∞;− 8)∪ (− 20;61) 3 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31561

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 x − ax+ 2a+ 32= 0

имеет ровно три действительных корня.

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 2$ не является решением уравнения, следовательно, можно преобразовать уравнение следующим образом:

3 x3+-32- a(x− 2)= x +32 ⇔ a= x− 2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно три точки вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет три точки пересечения с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $3 a(x)= x+x−322-$ в системе координат $xOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

3 2 a′(x) =2⋅ x-−-3x-−2-16 (x− 2)

Нулем числителя явояется $x= 4$ , следовательно, производная равна

′ (x−-4)(x2+-x+-4)- a(x)=2⋅ (x− 2)2

Таким образом, производная равна нулю при $x= 4$ и не существует при $x =2$ (точка разрыва графика функции $y = a(x)$ ). Определим знаки производной:

$PIC$

Следовательно, при $x∈ (− ∞;2)∪(2;4)$ функция $y = a(x)$ убывает, при $x ∈(4;+ ∞)$ возрастает, значит, схематично ее график выглядит следующим образом:

$PIC$

При $x → 2− 0$ имеем $a→ −∞$ ; при $x → 2+ 0$ имеем $a→ + ∞$ ; при $x→ ∞$ имеем $a → +∞$ . Тогда при всех $a0 >a(4)$ горизонтальная прямая $y =a0$ имеет три точки пересечения с графиком функции $y =a(x)$ .

Так как $a(4)= 434+−322= 48$ , то ответ $a> 48.$

Ответ:

$a ∈(48;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16778

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

x2 − (3a− 1)x+ 2a2− 2 -----x2-− 3x-− 4--- = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Чтобы разложить числитель на множители, найдем его корни $x1$ и $x2,$ то есть решим квадратное относительно $x$ уравнение:

$pict$

Тогда числитель раскладывается на множители следующим образом:

(x − x1)(x − x2) =(x− 2a+ 2)(x − a− 1)= x2− (3a− 1)x+ 2a2− 2

Получаем, что исходное уравнение эквивалентно системе

( ⌊ ( ⌊ ||| x− 2a+ 2= 0 ||| a= x+-2- (x-− 2a-+2)(x−-a−-1) { ⌈ { ⌈ 2 x2− 3x− 4 = 0 ⇔ ||| x− a− 1= 0 ⇔ ||| a= x − 1 ( x2− 3x − 4⁄= 0 ( x⁄= − 1;4

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, объединим их, а затем исключим точки, удовлетворяющие условию $x= −1;4.$

Множеством решений первого уравнения совокупности является прямая $f(x)= x-+-2. 2$
Множеством решений второго уравнения совокупности являются прямая $g(x)= x− 1.$
Третье условие $x⁄= −1;4$ задает всю плоскость за исключением двух вертикальных прямых $x = −1$ и $x = 4.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек наклонных прямых за исключением точек пересечения с вертикальными прямыми.

Прямые $f,$ $g$ и $x = 4$ пересекутся в одной точке $C = (4;3),$ в чем легко убедиться подстановкой.

Найдем точки пересечения $A$ и $B$ прямой $x= −1$ с прямыми $f$ и $g$ соответственно:

f(− 1)= 0,5 ⇒ A= (−1;0,5) g(−1)= − 2 ⇒ B = (− 1;− 2)

Заметим, что все горизонтальные прямые, кроме тех, которые проходят через одну из точек $A,$ $B$ или $C,$ будут иметь с $S$ ровно две точки пересечения, а значит, нам не подойдут.

Прямые $l1 :a= −2,$ то есть прямая через точку $B,$ и $l2 :a = 0,5,$ то есть прямая через точку $A,$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения.

Прямая $l3 :a= 3,$ то есть прямая через точку $C,$ не будет иметь с $S$ точек пересечения.

Таким образом, подходят только прямые $l1$ и $l2$ и соответствующие им значения параметра

a ∈{− 2;0,5}

Ответ:

${ 1} −2;2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16776

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

2 (a+ 4x− x − 1)(a+ 1− |x− 2|)= 0

имеет ровно три решения.

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно совокупности

⌊ 2 ⌊ 2 ⌈a+ 4x− x − 1= 0 ⇔ ⌈a = x − 4x + 1 a+ 1− |x − 2|= 0 a = |x − 2|− 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений совокупности. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно три из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно три точки пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из уравнений совокупности, а затем найдем объединение этих множеств.

Множеством решений первого уравнения являются точки параболы $f(x) =x2 − 4x +1$ .
Множеством решений второго уравнения являются точки «уголка» модуля, сдвинутого на 2 вправо и на 1 вниз.

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек параболы и уголка модуля.

Только горизонтальные прямые $l:a = −1, 2$ то есть прямая через вершину уголка, и $l :a =− 3, 1$ то есть касательная в вершине синей параболы, будут иметь с $S$ нечетное число точек пересечения. Легко видеть, например из симметрии, что все остальные горизонтальные прямые будут иметь с $S$ четное число точек пересечения и заведомо нам не подойдут.

Из прямых $l1$ и $l2$ нам подойдет только $l2,$ имеющая ровно три точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно три решения при

a∈ {−1}

Ответ:

$a ∈{− 1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно найдено значение $a= −1,$ но при этом нет обоснования нахождения значения параметра $a$	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#15915

Найдите значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 3 5 2 3x + 2 x − 7x+ 2 = a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a , 0$ то $x 0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ , принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

Значит, нам нужно понять, как выглядит график функции $f(x) = 23x3 + 52x2 − 7x + 2$ . Посчитаем её производную:

( )′ ( ) ′ ( ) ′ f′(x ) = 2 x3 + 5x2 − 7x+ 2 = 2x3 + 5x2 − (7x − 2)′ = 2x2 + 5x − 7 = (x − 1)(2x+ 7) 3 2 3 2

Легко видеть, что производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в точках $x = 1$ и $x = − 3,5$ . Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются ровно в одном множителе, следовательно, в них будет меняться знак.

$PIC$

Значит, на промежутках $(− ∞;− 3,5)$ и $(1;∞ )$ функция монотонно возрастает, а на промежутке $(− 3,5;1)$ — монотонно убывает. Найдем значения функции в нулях производной

$pict$

Теперь мы можем нарисовать эскиз графика.

$PIC$

Будем называть часть графика, расположенную левее точки $A = (− 3,5;(f(− 3,5))$ , «левой ветвью», часть правее точки $B = (1;f(1))$ — «правой ветвью», а между точками $A$ и $B$ — «средней частью». Заметим, что левая ветвь может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения на промежутке $(− ∞; − 3,5)$ , так как $f(x)$ — это кубический многочлен с положительным коэффициентом при $x3$ . По аналогичным причинам правая ветвь может принимать сколь угодно большие значения на промежутке $(1;+∞ )$ .

Рассмотрим все возможные положения горизонтальной прямой:

Прямая $l1 : a = f(− 3,5) = 685 24$ . Она проходит через точку экстремума $A$ и пересекает правую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое $a$ нам не подходит.
Прямая $l2 : a = f(1) = − 161$ . Она проходит через точку экстремума $B$ и пересекает левую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое $a$ нам не подходит.
Каждая прямая, расположенная выше прямой $l 1$ , пересекает только правую ветвь ровно в одной точке.
Каждая прямая, расположенная ниже прямой $l2$ , пересекает только левую ветвь ровно в одной точке.
Каждая прямая, расположенная между прямыми $l1$ и $l2$ , пересекает ровно по одному разу левую ветвь, правую ветвь и среднюю часть.

Значит, только горизонтальные прямые, которые расположены ниже $l2$ , и прямые, которые расположены выше $l1$ , пересекают график $f(x)$ равно в одной точке. Им соответствуют следующие значения параметра:

( ) ( ) a ∈ − ∞; − 11 ∪ 685;+ ∞ 6 24

Ответ:

$( 11) (685 ) − ∞; − 6 ∪ -24 ;+ ∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33958

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

x2−-7x+-(a+-2)(6−-a)+1 (√x-+1)2 = logpp,

где $x2 a2 p =5 −-5 − 5-$ , имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно (так как $p >0,p⁄= 1$ )

( (|⌊ |||x2− 8x+(a+ 2)(6− a)=0 |||||⌈ a= x− 2 |||{x2+ a2 < 25 |||{ a= 6− x | 2 2 ⇔ |x2+ a2 < 25 |||||x + a ⁄= 20 |||||x2+ a2 ⁄= 20 (x> −1 |||( x >− 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x ;a ) 0 0$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a, 0$ то $x 0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a 0$ параметра $a,$ при каждом из которых хотя бы одна из точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ ℝ$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет хотя бы одну точку пересечения с множеством $S$ .

Найдем точку пересечения прямых:

({ ({ a= x− 2 ⇔ x= 4 ⇒ C (4;2) (a= 6− x ( a= 2

Точки пересечения прямой $a =x − 2$ и окружности $x2 +a2 = 25$ :

⌊( √-- ||||{x = 2−--46 |||| 2 √-- ( ||||(a = −2−--46- ( √-- √--) { a= x− 2 ⇔ ||| 2 ⇒ N 2+--46;−2+--46- ( x2+ a2 =25 ||(| √-- 2 2 |||||{x = 2+2-46 |⌈|| √-- |(a = −2+2-46-

Точки пересечения прямой $a =6− x$ и окружности $x2 +a2 = 25$ :

⌊(|| 6− √14 |||{x = --2--- ||||| 6+√14- ({ |||(a = --2--- ( √ -- √ -) ( √-- √--) a= 6− x ⇔ || ⇒ A 6−--14;6-+--14 ,M 6+--14;6−--14 (x2+ a2 =25 |||(|| 6+-√14 2 2 2 2 |||{x = 2 |⌈||| 6− √14 (a = 2

Точки пересечения прямой $a =x − 2$ и окружности $2 2 x +a = 20$ :

⌊ ( ( | {x= 4 { a= x− 2 ||| ((a= 2 ( x2 +a2 = 20 ⇔ || {x= −2 ⇒ C(4;2) ⌈ (a= −4

Точки пересечения прямой $a =6− x$ и окружности $x2 +a2 = 20$ :

⌊({ x= 2 ({ ||( a =6 − x ⇔ |||( a= 4 ⇒ B(2;4),C(4;2) (x2+ a2 = 20 |⌈{ x= 4 ( a= 2

Точки пересечения прямой $x =− 1$ и окружности $x2+ a2 =25 :$

( { x= −1 √- √- ( x2 +a2 = 25 ⇒ F (−1;2 6),G (−1;−2 6)

Точки пересечения прямой $x =− 1$ и окружности $x2+ a2 =20 :$

( { x= −1 √ -- √-- ( x2+a2 = 20 ⇒ H (− 1; 19),I(−1;− 19)

$S :$ это множество точек прямых $a= x− 2$ и $a =6 − x$ , которые лежат в голубой области.

$PIC$

$J(−1;−3)$ — точка пересечения прямой $x =− 1$ и прямой $a= x− 2.$

Таким образом, все розовые положения горизонтальной прямой $a= a0$ – это те положения, при которых она НЕ имеет общих точек со множеством $S$ .

Прямая $k$ : $√-- aA = 6+214$ ;

прямая $l$ : $aB =4$ ;

прямая $c$ : $aC =2$ ;

прямая $j$ : $aJ =− 3.$

Следовательно, ответ $a∈ (aJ;aC)∪ (aC;aB)∪(aB;aA)$ или

( √ -) 6-+--14 a∈(−3;2)∪(2;4)∪ 4; 2 .

Ответ:

$a ∈(−3;2)∪ (2;4)∪(4;6+√14) 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33955

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

5√---- 2 5√------- 1∘0-2-------- 3 x +4− 7a ⋅ 32x+ 96= x + 7x +12

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $14a2 = b$ , тогда уравнение имеет вид

5√---- 10∘-2-------- 5√ ---- 3 x+ 4− x + 7x+ 12 − b⋅ x+3 =0

Так как $x+ 3= 0$ не является решением уравнения, то можно разделить обе части равенства на $5√x+-3$ , получим

5∘ x+-4- -10∘-(x+-4)(x+-3) b= 3 x+ 3 − 5√x+-3

Заметим, что $1∘0(x+-4)(x+-3) ∘ ----- ---√5x-+-3----⁄= 10xx++-43$ , так как $x+ 3$ может быть как положительным, так и отрицательным.

Сделаем замену $10∘---------- t= --(x+5√-4)(x+-3) x+ 3$ , тогда $∘ ----- t2 = 5 x+-4 x+ 3$ , следовательно, уравнение примет вид

b= 3t2− t

Исследуем замену:

( ∘---------- ∘ ----- ∘ ------- |||| 10(x+√-4)(x+-3)= 10x-+4 = 101+ -1--, x> −3 t= { (10x+ 3)2 x +3 x+ 3 |||| 10∘(x+-4)(x+-3) 10∘-x+4- 10∘-----1- ( −(10∘−-(x-+3))2 = − x+3 = − 1 +x +3, x≤ −4

Если обозначить $p(x)= 1+ x+13-$ — убывающая функция, то

( ∘ --- { 10p(x), x >− 3 (убывает, как композиция возраст. и убы в.) t= ( − 10∘p(x), x ≤− 4 (возрастает, как композиция убы в. и убыв.)

Изобразим график функции $y =p(x)$ :

$PIC$

Заметим, что одному значению $x$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $p.$

При $x∈ (−3;+ ∞)$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ , значит, $y =t(p(x))$ принимает значения от $+ ∞$ до $1$ .

При $x∈ (−∞;− 4]$ функция $y = p(x)$ принимает значения от $1$ до $0$ , значит, $y = t(p(x))$ принимает значения от $− 1$ до $0$ .

Следовательно, график $y = t(x)$ выглядит следующим образом ( $y = −1$ и $y = 1$ — горизонтальные асимптоты):

$PIC$

Значит, область значений $t∈ (− 1;0]∪(1;+ ∞)$ , причем заметим, что одному значению $p$ (из области значений) соответствует ровно одно значение $t$ .

Изобразим график функции $b= b(t)= 3t2− t$ при $t∈ (−1;0]∪(1;+∞)$ в системе координат $tOb$ и найдем такие положения горизонтальной прямой $b =b0$ , при которых она с графиком функции $b= b(t)$ имеет ровно одну точку пересечения:

$PIC$

Следовательно,

⌊ ⌊a2 ≤ 1 ( ∘--] [ ∘--∘ -] [∘-- ) ⌈ b∈[0;2] ⇒ || 7 ⇔ a∈ −∞; − 2 ∪ − 1; 1 ∪ 2;+ ∞ b≥4 ⌈a2 ≥ 2 7 7 7 7 7

Графики функций $y = t(x)$ и $y = p(x)$ рисовать было необязательно, они изображены лишь для наглядности области значений функций.

Ответ:

$a ∈(−∞; −∘ 2]∪[−∘ 1;∘-1]∪[∘-2;+ ∞) 7 7 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31801

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

(x− a − 7)(x+ a− 2) ---√10x−-x2−-a2-- = 0

имеет ровно один корень на отрезке $[4;8].$

Показать ответ и решение

Исходное уравнение равносильно системе

(|⌊ ||{⌈a = x− 7 | a = −x+ 2 ||( 2 2 2 (x− 5) + a < 5

Исследуем данную систему графически в системе координат $xOa.$

$PIC$

Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым $a = x− 7, a= − x+ 2$ и лежащих внутри круга с центром $(5;0)$ и радиусом 5.

Рассмотрим из этих точек только те, у которых $x ∈[4;8].$ Если для некоторого фиксированного $a$ имеется ровно одна точка с такой ординатой, то такое $a$ нам подходит. Остальные $a$ нам не подходят.

Найдем координаты точек $A, B, C, D, E$ пересечения прямых $a = x− 7$ и $a= − x+ 2$ между собой, с вертикальными прямыми $x = 4$ и $x= 8$ и с окружностью:

( √ -- √--) A 7+---41; −3−-41- , B(4;− 3), C(4,5;− 2,5), D (4;− 2), E(8;1) 2 2

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[4;8]$ при

√ -- −3−---41< a< − 3, a =− 5, −2< a ≤ 1 2 2

Ответ:

$( −3-− √41 ) { 5} a ∈ 2 ;−3 ∪ − 2 ∪(−2;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31568

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 32cos3x− 5(sin 3x+ 2acos3x)+ 17− 4a =0

имеет ровно 6 корней на отрезке $[ ] − π;3π 3 4$ .

Показать ответ и решение

Пусть $3x= z$ , а $t= cosz$ . Исследуем, сколько решений относительно переменной $t$ должно иметь исходное уравнение. Так как $z =3x$ , то исходное уравнение должно иметь 6 решений $[ 9π] z ∈ − π;4$ . Отметим этот отрезок на единичной окружности:

$PIC$

I тип.: $t= −1$ дает два решения $z$ ;
II тип.: $t= 1$ дает два решения $z$ ;
III тип.: $− 1< t< √1 2$ дает три решения $z$ ;
IV тип.: $√12 ≤t <1$ дает четыре решения $z.$

Исходное уравнение относительно переменной $t$ имеет следующий вид:

⌊ 2 |t= −5 2a(5t+2)= (5t+ 2)(t+ 6) ⇔ ⌈a= t+-6 2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $t0$ будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом имеются точки $(t0;a0)$ , $t0 ∈ [− 1;1]$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa$ , такого вида, что суммарно получается 6 решений $z0$ , где $[ 9π] z0 ∈ −π;4$ .

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет такие точки пересечения с множеством $S$ .

Изобразим множество $S$ на координатной плоскости $tOa$ , учитывая, что $t∈ [− 1;1]$ :

$PIC$

Видим, что горизонтальная прямая $a= a0$ со множеством $S$ имеет либо одну, либо две точки пересечения. Так как не существует такого $t∈[−1;1]$ , которое даст 6 решений $z$ , то горизонтальная прямая должна пересекать изображенное множество в двух точках, причем это точки либо I и IV типа, либо II и IV типа, либо обе III типа. Заметим, что одна из точек — это $t1 =− 25$ при любом положении прямой $a= a0$ , а $t1 ∈ III$ . Следовательно, вторая точка также должна быть III типа, причем отлична от $t1.$

Так как $t+26|t=√1 =3 +21√2 2$ , то $( ) ( √- ) a ∈ 52;154 ∪ 145 ;-24 + 3$ .

Ответ:

$a ∈(5;14)∪(14;√2+ 3) 2 5 5 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31567

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

(2x+ 3√2-⋅2−x− 5)− a -a-− (2sin√x-− 1-− 3)-≤ 0

не имеет решений.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функции $a (x)= 2x+ 3√2-⋅2− x− 5 1$ и $a (x)=2sin √x−-1− 3 2$ . Тогда неравенство примет вид

⌊({ || a ≥a1 a1−-a≤ 0 ⇔ ||((a >a2 a− a2 ||⌈{a ≤a1 (a <a2

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых не существует точек вида $(x0;a0)$ , $x0 ∈ℝ$ , принадлежащих множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ не имеет точек пересечения с множеством $S$ .

Построим графики функций $a =a1(x)$ и $a =a2(x)$ . Для этого требуется исследовать данные функции.

Функция $a =a 1$ является композицией двух функций: $y = t+ 3√2-− 5 1,1 t$ и $y = 2x 1,2$ , то есть $a =y (y (x)) 1 1,1 1,2$ . Функция $y1,2$ возрастающая, следовательно, характер монотонности функци $a= a1$ определится, если исследовать функцию $y1,1$ :

$√ - 2 √- y′1,1 =1 − 3-22= t-− 32-2 t t$

Производная равна нулю при $∘-√-- t= ± 3 2$ и не существует при $t=0$ , следовательно, эти точки разбивают ее область определения на промежутки, знаки на которых следующие:

$PIC$

Учитывая, что $t> 0$ , на промежутке $(∘-√-- ) t∈ 3 2;+∞$ функция $y1,1$ возрастает, а при $∘ -√- t∈ (0; 3 2)$ убывает.
Так как

$∘ --- ∘--- t= 3√2 ⇔ x= log 3√2- 2 t→ 0+0,если x→ −∞ t→ +∞,если x→ + ∞$

то при $∘ --- x∈ (−∞; log2 3√ 2)$ функция $a= a1(x)$ убывает, а при $∘ --- x∈ (log2 3√2;+∞)$ эта функция возрастает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При $∘-√- x = log2 3 2$ имеем $∘-√- a1 = 2 3 2− 5$ .
- При $x → −∞$ имеем $a1 → +∞$ .
- При $x → +∞$ имеем $a1 → +∞$ .
Тогда график функции $a =a1(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$
Функция $a = a2$ является композицией двух функций: $y2,1 =2sin z− 3$ и $y2,2 = √x-− 1$ , то есть $a2 = y2,1(y2,2(x))$ . Функция $y2,2$ возрастающая, следовательно, характер монотонности функци $a= a2$ определится, если исследовать функцию $y2,1$ , у которой промежутки возрастания/убывания такие же, как у функции $y = sinz$ .
Следовательно, учитывая, что $z ≥0$ при $[ π) z ∈ 0;2$ и $( π π ) z ∈ −2 +2πn;2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция $y2,1$ возрастает, а при $( 3π π ) z ∈ −-2 + 2πn;−2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция убывает.
Так как

$z =0 ⇔ x= 1 3π ( 3π )2 z =− 2-+ 2πn ⇔ x =1 + − 2-+ 2πn π ( π )2 z =− 2 + 2πn ⇔ x= 1+ − 2 + 2πn z = π+ 2πn ⇔ x =1+ (π + 2πn)2 2 2$

то при $x∈ [1;1+ (π2)2)$ и $x ∈(1+ (− π2 +2πn)2;1+(π2 + 2πn)2)$ , $n∈ ℕ$ функция $a= a2(x)$ возрастает, а при $( ( )2 ( ))2 x ∈ 1+ − 3π2 + 2πn ;1+ − π2 +2πn$ , $n∈ ℕ$ функция убывает (композиция двух функций одинакового характера монотонности — возрастающая, а разного — убывающая).
- При $x = 1$ имеем $a2 = −3$ .
- При $( 3π- )2 (π )2 x = 1+ − 2 +2πn ;1+ 2 +2πn$ имеем $a2 =−1$ .
- При $x = 1+(− π2 + 2πn)2$ имеем $a2 =− 5$ .
Тогда график функции $a =a2(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

Изобразим оба графика на одной координатной плоскости. Для этого найдем значения функций в некоторых точках:

3 a1(1)=− 4+ √2- ( ( π)2) ( ∘ -√-) ∘ √-- − 1 =a2 1+ 2 < a1 log2 3 2 = −5+ 2 3 2

Тогда решением неравенства будет множество $S$ , которое является объединением области 1 и области 2, где

область 1: пересечение областей над графиками функций $a= a1$ и $a= a2$ , включая график $a= a1$ и исключая график $a =a2$ ;

область 2: пересечение областей под графиками функций $a= a1$ и $a= a2$ , включая график $a =a1$ и исключая график $a= a2$ .

$PIC$

Исходное неравенство не имеет решений, если горизонтальная прямая $a= a0$ не пересекает закрашенную область $S$ , то есть находится в полосе между $a= −1$ (включая это значение) и $a =−5 +2∘3-√2$ (исключая это значение). Значит, ответ: $a ∈[−1;−5+ ∘3√2) .$

Ответ:

$a ∈[−1;2√418-− 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31566

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 4cosx− atg x= 3+ a

имеет на отрезке $[0;π]$ ровно один корень.

Показать ответ и решение

Пусть $t= cosx$ . Тогда при $x⁄= π+ πn 2$ , $n∈ ℤ$ , уравнение равносильно

( 1- ) 3 2 4t− a t2 − 1 = 3+a ⇔ a= 4t− 3t, t⁄=0

Следовательно, полученное уравнение должно иметь единственное решение $t∈[−1;0)∪ (0;1]$ .

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $t0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t0;a0)$ , $t0 ∈ [− 1;1]∖{0}$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет точки пересечения $(t0;a0)$ , удовлетворяющие условию $t0 ∈[−1;1]∖{0}$ , с множеством $S$ .

Исследуем функцию $a =a(x)$ : $a′(x)= 12t2− 6t$ . Производная равна нулю в точках $t=0;12$ , следовательно, при $t∈ (−∞; 0)∪(12;+∞ )$ производная положительна, значит, функция $a= a(x)$ возрастает, а при $t∈(0;12)$ производная отрицательна, значит, функция убывает.

Определим:

a(− 1)= −7 a(0)= 0 a(0,5)= −0,25 a(1)= 1

Тогда на промежутке $[−1;0)∪ (0;1]$ схематично график этой функции выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, единственное решение уравнение имеет тогда, когда горизонтальная прямая $a =a0$ имеет одну точку пересечения с изображенным графиком, следовательно, $a∈ [a(−1);a(0,5))∪ [a(0);a(1)]$ , то есть при $a ∈[−7;−0,25)∪[0;1].$

Ответ:

$a ∈[−7;− 0,25)∪[0;1]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31565

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 4sinx+ 9= a(1+ ctg x)

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Так как $1+ ctg2x= --1- sin2x$ , то после замены $t=sin x$ уравнение примет вид

-a 3 2 4t+ 9= t2 ⇔ a= 4t + 9t,t⁄=0

Рассмотрим функцию $a(t)=4t3+ 9t2$ в системе координат $tOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

a′(t)= 12t2+ 18t =t(12t+ 18) ⇒ a′(t)= 0 ⇔ t=− 1,5;0

Производная положительна при $t∈ (− ∞;−1,5)∪ (0;+∞ )$ , следовательно, на этом промежутке функция возрастает, и отрицательна при $t∈ (− 1,5;0)$ , следовательно, на этом интервале функция убывает.

a(− 1) =5 a(0)= 0 a(1)= 13

Следовательно, на промежутке $t∈ [− 1;1]∖{0}$ график функции выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, решения у уравнения будут в том случае, если горизонтальная прямая $a= a0$ такова, что $a0 ∈ (a(0);a(1)]$ , то есть $a ∈(0;13].$

Ответ:

$a ∈(0;13]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31564

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

3 2x x cosx+ 2 cos-3 + 6cos 3 = a

имеет по крайней мере одно решение.

Показать ответ и решение

Применим формулы косинуса двойного и косинуса тройного углов

2 cos2α = 2cos α − 1 cos3α = 4cos3α − 3 cosα

Тогда имеем:

4 cos3 x − 3cos x+ 3 ⋅(2cos2 x− 1)+ 6cos x = a 3 3 2 3 3

Пусть $x cos 3 = t$ и $2a= b,$ тогда получаем

3 2 b= 8t + 6t+ 6t− 3

Будем рассматривать параметр $b$ как переменную. Построим в системе координат $tOb$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;b0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $b$ принимает значение $b0,$ то $t0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $b0$ параметра $b,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t0;b0),$ $t0 ∈ [−1;1],$ принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOb.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $b= b 0$ имеет точки пересечения $(t;b ), 0 0$ удовлетворяющие условию $t ∈ [−1;1], 0$ с множеством $S.$

Рассмотрим функцию $3 2 b(t) =8t + 6t +6t− 3$ в системе координат $tOb$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

b′(t)= 24t2+12t+ 6= 6(4t2 +2t+ 1)

Так как дискриминант скобки отрицательный, то $2 4t +2t+ 1> 0$ $∀t∈ [−1;1],$ следовательно, $′ b (t)> 0.$ Значит, функция $b= b(t)$ возрастает при всех $t∈[−1;1].$

$PIC$

Тогда горизонтальная прямая $b= b0$ имеет точки пересечения с графиком функции $b= b(t)$ на $t∈ [− 1;1]$ в том случае, если $b0 ∈ [b(−1);b(1)],$ то есть при $b ∈[−11;17].$ Тогда исходное уравнение имеет по крайней мере одно решение при

b 2 = a∈ [−5,5;8,5]

Ответ:

$a ∈[−5,5;8,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31562

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

-2a- 5cos2x+ sinx = −29

имеет решения.

Показать ответ и решение

Пусть $t= sinx$ , тогда $cos2x =1 − 2t2$ и уравнение при всех $t⁄= 0$ равносильно

2 3 2a =− 29t− 5t(1− 2t ) ⇔ a= 5t − 17t

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $tOa$ множество $S$ решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами $(t0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a, 0$ то $t 0$ будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения $a 0$ параметра $a,$ при каждом из которых имеются точки вида $(t;a ) 0 0$ , $t ∈ [− 1;0)∪(0;1] 0$ , принадлежащие множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $tOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a 0$ имеет точки пересечения $(t ;a ) 0 0$ , удовлетворяющие условию $t0 ∈[−1;0)∪ (0;1]$ , с множеством $S$ .

Рассмотрим функцию $3 a(t)=5t − 17t$ в системе координат $tOa$ и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

′ 2 a (t)= 15t − 17

Нули производной $t= ±∘-17- 15$ , следовательно, на промежутках $(−∞; −∘-17) 15$ и $(∘ 17;+∞ ) 15$ функция возрастает, на промежутке $( ∘-- ∘ -) − 1715; 1715-$ функция убывает. Так как $[−1;0)∪ (0;1]$ содержится в $( ∘ --∘ --) − 1715; 1175$ , то на исследуемом промежутке функция убывает, следовательно, схематично график ее выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, горизонтальная прямая $a= a0$ должна удовлетворять условию $a0 ∈[a(−1);a(0))∪ (a(0);a(1)]$ , то есть $a0 ∈ [− 12;0)∪(0;12].$

Ответ:

$a ∈[−12;0)∪(0;12]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#49787

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

( {(a− 1)x2+ 2ax + a+ 4≤ 0 ( 2 ax + 2(a+ 1)x + a+ 1≥ 0

имеет единственное решение.

(МГУ, 2001)

Показать ответ и решение

Систему можно переписать в виде

( {a(x+ 1)2 ≤ x2− 4 ( 2 a(x+ 1) ≥ −2x− 1

Сделаем замену $x + 1= t.$ Тогда новая система

( {at2+ 2t≤ t2− 3 2 2 (at2+ 2t≥ 1 ⇔ 1 ≤at + 2t≤ t − 3. (∗)

должна также иметь единственное решение.

Заметим, что $t= 0$ не является решением неравенства $(∗),$ следовательно, можно разделить обе части двойного неравенства на $t2 >0.$ Получим:

1 2 2 3 t2-− t ≤ a ≤1 − t − t2

Пусть $1= p. t$ Тогда неравенство

2 2 p − 2p ≤ a≤ −3p − 2p+ 1 (∗∗)

должно иметь единственное решение $p⁄= 0.$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $pOa$ множество $S$ решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами $(p0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $p0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна точка вида $(p0;a0)$ , $p0 ∈ ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $pOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$ .

Рассмотрим функции $a1 = p2− 2p$ и $a2 = −3p2− 2p+ 1$ в системе координат $pOa.$ Тогда решением неравенства $(∗∗)$ будут являться те части плоскости $pOa,$ которые находятся не ниже параболы $2 a1 = p − 2p$ (то есть это точки на границе параболы или внутри параболы) и не выше параболы $a2 = − 3p2 − 2p +1$ (то есть это точки на границе параболы и внутри параболы). Следовательно, получаем следующую область:

$paaaB4A−21 = =3 −p32p−2−2p2p+ 1 3 4$

Заметим, что нам подходят только два положения горизонтальной прямой $a = a0,$ при которых эта прямая с множеством $S$ имеет ровно одну общую точку. Эти прямые — прямая, проходящая через точку $A$ (абсцисса которой положительна) пересечения парабол $a = a1$ и $a= a2,$ и прямая, проходящая через вершину $B$ параболы $a =a2.$

Вершина параболы $a2 = − 3p2− 2p+ 1$ — точка $( ) B − 13; 43 .$

Найдем координаты точки $A :$

( ||| a= p2− 2p (| 1 { 2 ⇔ { p= 2 ||| a= − 3p − 2p+ 1 |( a= − 3 ( p> 0 4

Следовательно, эти прямые задаются уравнениями $a= − 3 4$ и $a = 4, 3$ то есть подходящие нам значения параметра — это

{ } a ∈ − 3; 4 . 4 3

Ответ:

${ } a ∈ − 3; 4 4 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#45967

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

||x2+ a2− 6x− 4a||= 2x+ 2a

имеет четыре различных корня.

Показать ответ и решение

Мы имеем уравнение следующего типа:

( ||B ≥ 0 |{⌊ |A|= B ⇔ ||⌈ A− B = 0 |( A+ B = 0

Следовательно, наше уравнение преобразуется следующим образом:

( || x+ a≥ 0 |{ ⌊ 2 2 || ⌈x + a − 6x− 4a− 2x− 2a= 0 (1) ⇔ |( x2+ a2− 6x− 4a+ 2x+ 2a= 0 ( |||{ a⌊≥ −x (x− 4)2+ (a − 3)2 = 25 |||( ⌈ 2 2 (x− 2) + (a − 1) = 5

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно четыре точки вида $(x0;a0)$ , где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет ровно четыре точки пересечения с множеством $S.$

Неравенство $a≥ −x$ системы задает множество точек плоскости $xOa,$ находящихся не ниже прямой $a =− x.$ Первое и второе уравнения совокупности задают две окружности.

Первое — окружность с центром в точке $O1(4;3)$ радиуса $R1 = 5.$

Второе — окружность с центром в точке $O2(2;1)$ радиуса $√- R2 = 5.$

Заметим, что обе окружности проходят через начало координат, так как в уравнениях совокупности $(1)$ отсутствуют свободные члены. Следовательно, если подставить $x= 0$ и $a = 0,$ уравнения будут верными равенствами.

Тогда $(0;0)$ — первая точка пересечения окружностей и прямой $a= −x.$

Найдем вторую точку пересечения каждой окружности с этой прямой.

Для первой окружности и прямой получаем систему:

( { x2+ a2 − 6x − 4a − 2x − 2a = 0 ( ⇔ K1(1;− 1) a= −x

Для второй окружности и прямой получаем систему:

( 2 2 { x + a − 6x − 4a +2x +2a = 0 ⇔ K2(1;− 1) ( a= −x

Следовательно, вторая точка пересечения первой окружности с прямой совпадает со второй точкой пересечения второй окружности с прямой. Назовем эту точку $A2 (1;−1).$

Следовательно, получаем рисунки ниже (на рис. 2 приближено пересечение прямой с окружностями).

$PIC$
Рис. 1

$PIC$
Рис. 2

Следовательно, части окружностей, находящиеся между их точками пересечения, не лежат в области $a ≥− x.$ Таким образом, множество $S$ решений системы, а значит и исходного уравнения, на плоскости $xOa,$ выглядит следующим образом:

$PIC$

Закрашенные области (между прямыми $l1$ и $l2,$ $l3$ и $l4$ , но не включая эти прямые!) — это те области, в которых может располагаться прямая $a= a0,$ чтобы иметь четыре точки пересечения со множеством $S.$ Каждая $li$ — горизонтальная прямая, проходящая через $Ai.$

1.: Ордината точки $A1$ ищется как разность ординаты центра $O2$ окружности и радиуса этой окружности, то есть эта ордината равна $√- 1− 5.$ Следовательно, уравнение прямой $√- l1 :a = 1− 5.$
2.: Ордината точки $A2$ равна -1, следовательно, уравнение $l2 :a = −1.$
3.: Точка $A3$ — начало координат, следовательно, уравнение $l3 :a= 0.$
4.: Ордината $A4$ ищется как сумма ординаты центра $O2$ окружности и ее радиуса, следовательно, эта ордината равна $1+ √5.$ Значит, уравнение $l:a = 1+ √5. 4$

Таким образом, подходящие значения параметра:

√ - √- a∈ (1 − 5;− 1)∪(0;1+ 5)

Ответ:

$a ∈(1− √5;− 1) ∪(0;1 +√5-)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#20552

При каких значениях $a$ уравнение

2 5cos x− 3a cosx + 1 = 0

имеет ровно один корень на $[π ] 2;π$ ?

Показать ответ и решение

1 способ.

Заметим, что $cosx= 0$ не является решением этого уравнения, следовательно, можно разделить обе части равенства на $t= cosx$ и получим

1 b= 3a =5t+ t

Если исходное уравнение должно иметь ровно один корень на отрезке $[π ] 2;π ,$ то новое уравнение должно иметь один корень на полуинтервале $t∈[−1;0)$ (выше сказали, что $t⁄=0$ ).

Будем рассматривать параметр $b$ как переменную. Построим в системе координат $xOb$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;b0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $b$ принимает значение $b0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $b0$ параметра $b,$ при каждом из которых одна точка вида $(x0;b0)$ , $x0 ∈ℝ$ принадлежат множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOb.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $b= b0$ имеет одну точку пересечения с множеством $S$ .

Множество $S$ представляет собой график функции $b(x)=5t+ 1t$ . Исследуем эту функцию:

2 b′ = 5− 12 = 5t2− 1 t t

Производная равна нулю в точках $t= ±√0,2$ , разрывна в точке $t=0$ , причем при $t∈[−1;− √0,2)$ производная положительна, следовательно, функция возрастает, а при $t∈ (−√0,2;0)$ производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Таким образом, так как $b(− 1)=− 6$ , а при $t→ 0− 0$ имеем $b→ −∞$ , график функции $b= b(t)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

Розовым цветом показана область, в которой может находиться горизонтальная прямая $b= b0$ , чтобы иметь с графиком $b =b(t)$ на промежутке $t∈[−1;0)$ ровно одну точку пересечения.

Найдем $b= bA$ : $√--- √- b(− 0,2)= −2 5$ , следовательно, $√- bA =− 2 5.$

Найдем $b= bB$ : $b(−1)= −6$ , следовательно, $bB = −6.$

Таким образом, $b< −6$ или $√- b=− 2 5,$ откуда $a <− 2$ или $√- a =− 23 5.$

2 способ.

Для начала заметим, что если $[ ] x∈ π2;π$ , то $cosx∈ [− 1;0]$ .

Теперь сделаем замену $cosx= t$ , $− 1≤ t≤1$ , тогда $cos2x =t2$ и исходное уравнение равносильно системе:

$pict$

При этом, зная решение системы $t ∈[−1;0] 0$ , можно найти корень исходного уравнения, сделав обратную замену:

cosx= t0 ⇔ x =arccost0

То, что корень исходного уравнения лежит на промежутке $[π ;π] 2$ , равносильно тому, что решение системы лежит на промежутке $[−1;0]$ , так как

$pict$

Тогда количество корней в исходном уравнении на отрезке $[π;π] 2$ будет совпадать с количеством корней в системе

$pict$

Таким образом, достаточно найти такие значения $a$ , при которых система имеет ровно одно решение.

$pict$

Квадратное уравнение имеет корни (необязательно различные) при $D ≥ 0$ . Обозначим их за $t1$ и $t2$ . По теореме Виета произведение корней равно $1 t1⋅t2 = 5 > 0$ , то есть оба корня одного знака.

Для того, чтобы система имела решение, один из корней должен лежать на отрезке $[− 1;0]$ , т.е. он не может быть положительным. Тогда оба корня уравнения должны быть отрицательными.

При этом также по теореме Виета сумма корней равна $3a 5$ и должна быть отрицательной, откуда следует, что $a< 0$ .

Рассмотрим два случая: когда $D =0$ (корни совпадают) и когда $D > 0$ (корни различные):

$D = 0$ :

$pict$

При $a= − √20 3$ получим
$3a 3⋅ √20 √5 t= 10 =− --103- =− 5--∈[−1;0]$
Т.е. система имеет ровно одно решение.
$D > 0$ :

$pict$

При положительном дискриминанте уравнение имеет два различных отрицательных корня $√ -2--- t1 = 3a+-19a0-−20$ и $√--2-- t2 = 3a−-91a0-−20$ . При этом выполнено $t2 < t1 <0$ .
Если $t2 ≥ −1$ , то оба корня лежат на отрезке $[− 1;0]$ , т.е. система имеет два различных решения, что нам не подходит. Тогда $t2 < −1$ , т.е.

$pict$

Если $t1 < −1$ , то оба корня не принадлежат отрезку $[−1;0]$ , т.е. система не имеет решений, что нам также не подходит. Тогда $t1 ≥ −1$ , т.е.

$pict$

Получили, что в случае $D> 0$ решение будет единственным на отрезке при $a< −2$

Тогда исходная система имеет ровно одно решение на отрезке при ${ √--} a∈ (− ∞;−2)∪ −-230$

Ответ: $(−∞;− 2)∪ {− √20} 3$

Ответ:

$√ -- (− ∞; − 2)∪ {−-320}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#16780

Найдите все значения параметра $a,$ при которых неравенство

loga+x x(a − x) <loga+x x

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

$pict$

Упростим первую систему:

$pict$

Упростим вторую систему:

$pict$

Заметим, что при $x> 0$

a> 1 +x > 1− x> a

Таким образом, мы получили, что вторая система не имеет решений ни при каких $a.$

Далее будем работать только с упрощенной версией первой системы, так как только она дает какие-то решения:

( |||{ a> 1 − x x> 0 |||( x< a < x+ 1

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых хотя бы одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a =a0$ имеет хотя бы одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем пересечем их.

Множеством решений первого неравенства является полуплоскость «выше» прямой $f(x)= 1 − x$ (выделено желтым).
Множеством решений второго неравенства является полуплоскость «правее» вертикальной оси $Oa$ (выделено красным).
Третье условие задает «полосу» между прямыми $g(x)= x$ и $h(x)= x+ 1$ (выделено синим):

$PIC$

Пересекая описанные области, получим итоговое множество решений $S$ (закрашено зеленым):

$PIC$

Любая горизонтальная прямая строго выше прямой $l1 :a= 12$ имеет пересечения с множеством $S,$ следовательно, при таких $a$ система имеет решения.

При всех остальных положениях горизонтальной прямой ее пересечение с $S$ пусто. Следовательно, исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при

( 1 ) a∈ 2;+∞

Ответ:

$( 1 ) a ∈ 2;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получено граничное значение $a= 0,5,$ но ответ получен неверный	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#16779

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 x + 4x − 2|x − a|+ 2 − a = 0

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

$pict$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений совокупности. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S$ , то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0$ , то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a$ , при каждом из которых ровно две из точек вида $(x0;a0), x0 ∈ ℝ$ принадлежат множеству решений $S$ , изображенному на плоскости $xOa$ . Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a = a0$ имеет ровно две точки пересечения с множеством $S$ .

Из совокупности мы видим, что «выше» прямой $a = x$ решением будут точки графика параболы $x2+6x+2 f(x) = 3$ , а на оставшейся части плоскости (т.е. «ниже» и включая прямую $a = x$ ) решением будут точки графика параболы $g(x) = − x2 − 2x − 2$ .

Найдем точки пересечения парабол.

x2 +-6x-+-2= − x2 − 2x − 2 ⇔ 4 x2 + 4x+ 8= 0 ⇔ x = − 1;− 2 3 3 3

То есть параболы пересекаются в точках $A = (− 1;g(− 1)) = (− 1;− 1)$ и $B = (− 2;g(− 2)) = (− 2;− 2)$ . Заметим, что обе эти точки лежат на прямой «разделения» $a = x$ . Вершина параболы $g$ совпадает с точкой $A$ (легко проверить подставлением), а вершина параболы $f$ это точка

( ( )) ( ) C = − -2--;f − -2-- = − 3;− 2 1 2⋅ 13 2 ⋅ 13 3

Построим графики. Красным изображена парабола $f(x)$ , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию $a > x$ . Синим изображена парабола $g(x)$ , пунктирная ее часть не удовлетворяет условию $a ≤ x$ . Зеленым изображена линия «разделения» $a = x$ .

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является объединение всех точек сплошных частей синего и красного графиков.

По графику видим, что все горизонтальные прямые, которые «выше», чем $l1 : a = − 2$ (прямая через $B$ ) будут иметь ровно две точки пересечения с $S$ . Здесь важно отметить, что горизонтальная прямая, проходящая через $A$ будет касательной к параболе $g$ в ее вершине, следовательно, будет иметь с ней ровно одну точку пересечения. Прямые $l 1$ и $l : a = − 2 1 2 3$ (прямая через $C$ ) будут иметь с $S$ ровно три точки пересечения. Любая прямая между $l1$ и $l2$ будет иметь четыре точки пересечения с $S$ . Любая прямая «ниже» $l2$ снова будет иметь ровно две точки пересечения с $S$ . Таким образом, в ответ войдут интервалы

( ) − ∞; − 21 ∪ (− 2;+∞ ) 3

Ответ:

$( 7) − ∞; − 3 ∪ (− 2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#16777

Найдите все значения параметра $a,$ при которых множество решений неравенства

2 (x − a)(a− 2x− 8)> 0

не содержит ни одного решения неравенства $x2 ≤ 4.$

Показать ответ и решение

Условие задачи означает, что система

({ 2 (x − a)(a− 2x− 8)> 0 ( x2 ≤ 4

не имеет решений.

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых не существует точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежащих множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ не имеет точек пересечения с множеством $S.$

Систему можно переписать в виде

(| ⌊({ 2 |||| || a< x ||||{ ||(( a> 2x+ 8 ||{ a> x2 |||| ⌈( |||| a< 2x+ 8 |( −2≤ x ≤2

Множество $S$ на рисунке — это пересечение голубой и зеленой областей, а розовая область — это область, в которой может находиться горизонтальная прямая $a= a0,$ чтобы система не имела решений.