Пусть , а . Исследуем, сколько решений относительно переменной должно иметь исходное уравнение. Так как , то исходное уравнение должно иметь 6 решений . Отметим этот отрезок на единичной окружности:

I тип.

дает два решения ;

II тип.

дает два решения ;

III тип.

дает три решения ;

IV тип.

дает четыре решения

Исходное уравнение относительно переменной имеет следующий вид:

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений неравенства. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений неравенства. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом имеются точки , , принадлежащие множеству решений изображенному на плоскости , такого вида, что суммарно получается 6 решений , где .

Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет такие точки пересечения с множеством .

Изобразим множество на координатной плоскости , учитывая, что :

Видим, что горизонтальная прямая со множеством имеет либо одну, либо две точки пересечения. Так как не существует такого , которое даст 6 решений , то горизонтальная прямая должна пересекать изображенное множество в двух точках, причем это точки либо I и IV типа, либо II и IV типа, либо обе III типа. Заметим, что одна из точек — это при любом положении прямой , а . Следовательно, вторая точка также должна быть III типа, причем отлична от

Так как , то .