Пусть . Тогда при , , уравнение равносильно

Следовательно, полученное уравнение должно иметь единственное решение .

Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых имеются точки вида , , принадлежащие множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет точки пересечения , удовлетворяющие условию , с множеством .

Исследуем функцию : . Производная равна нулю в точках , следовательно, при производная положительна, значит, функция возрастает, а при производная отрицательна, значит, функция убывает.

Определим:

Тогда на промежутке схематично график этой функции выглядит следующим образом:

Следовательно, единственное решение уравнение имеет тогда, когда горизонтальная прямая имеет одну точку пересечения с изображенным графиком, следовательно, , то есть при