Тема 18. Задачи с параметром
18.26 Метод xOa (параметр как вторая неизвестная)
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31565

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых уравнение

                2
4sinx+ 9= a(1+ ctg x)

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Так как 1+ ctg2x= --1-
         sin2x  , то после замены t=sin x  уравнение примет вид

      -a          3   2
4t+ 9= t2  ⇔   a= 4t + 9t,t⁄=0

Будем рассматривать параметр a  как переменную. Построим в системе координат tOa  множество S  решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами (t0;a0)  принадлежит этому множеству S,  то для исходной задачи это означает, что если параметр a  принимает значение a0,  то t0  будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения a0  параметра   a,  при каждом из которых имеются точки вида (t0;a0)  , t0 ∈ [− 1;1]∖{0} , принадлежащие множеству решений S,  изображенному на плоскости tOa.  Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая a= a0  имеет точки пересечения (t0;a0)  , удовлетворяющие условию t0 ∈[−1;1]∖{0} , с множеством S  .

Рассмотрим функцию a(t)=4t3+ 9t2  в системе координат tOa  и построим схематично ее график. Для этого исследуем ее производную:

a′(t)= 12t2+ 18t =t(12t+ 18)  ⇒   a′(t)= 0  ⇔   t=− 1,5;0

Производная положительна при t∈ (− ∞;−1,5)∪ (0;+∞ )  , следовательно, на этом промежутке функция возрастает, и отрицательна при t∈ (− 1,5;0)  , следовательно, на этом интервале функция убывает.

a(− 1) =5
a(0)= 0
a(1)= 13

Следовательно, на промежутке t∈ [− 1;1]∖{0} график функции выглядит следующим образом:

PIC

Следовательно, решения у уравнения будут в том случае, если горизонтальная прямая a= a0  такова, что a0 ∈ (a(0);a(1)]  , то есть a ∈(0;13].

Ответ:

 a ∈(0;13]

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!