Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе координат множество решений уравнения. Если некоторая точка плоскости с координатами принадлежит этому множеству то для исходной задачи это означает, что если параметр принимает значение то будет одним из решений уравнения. Нас просят найти все такие значения параметра при каждом из которых ровно одна из точек вида , , принадлежит множеству решений изображенному на плоскости Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая имеет ровно одну точку пересечения с множеством .

Значит, нам нужно понять, как выглядит график функции . Посчитаем её производную:

Легко видеть, что производная определена на всей числовой прямой и равна нулю в точках и . Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются ровно в одном множителе, следовательно, в них будет меняться знак.

Значит, на промежутках и функция монотонно возрастает, а на промежутке — монотонно убывает. Найдем значения функции в нулях производной

Теперь мы можем нарисовать эскиз графика.

Будем называть часть графика, расположенную левее точки , «левой ветвью», часть правее точки — «правой ветвью», а между точками и — «средней частью». Заметим, что левая ветвь может принимать сколь угодно большие по модулю отрицательные значения на промежутке , так как — это кубический многочлен с положительным коэффициентом при . По аналогичным причинам правая ветвь может принимать сколь угодно большие значения на промежутке .

Рассмотрим все возможные положения горизонтальной прямой:

• Прямая . Она проходит через точку экстремума и пересекает правую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое нам не подходит.
• Прямая . Она проходит через точку экстремума и пересекает левую ветвь ровно в одной точке. Всего два пересечения, такое нам не подходит.
• Каждая прямая, расположенная выше прямой , пересекает только правую ветвь ровно в одной точке.
• Каждая прямая, расположенная ниже прямой , пересекает только левую ветвь ровно в одной точке.
• Каждая прямая, расположенная между прямыми и , пересекает ровно по одному разу левую ветвь, правую ветвь и среднюю часть.

Значит, только горизонтальные прямые, которые расположены ниже , и прямые, которые расположены выше , пересекают график равно в одной точке. Им соответствуют следующие значения параметра: