Задача №70244: Графика. Окружность — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 18. Задачи с параметром

18.22 Графика. Окружность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70244

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система уравнений

{ ------------ y = ∘− x2 − 6x − 8 y + ax = a + 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Рассмотрим систему внимательнее и преобразуем её условия:

{ y2 = (√ − x2-− 6x-−-8)2,y ≥ 0 y = − ax +a + 1

{y2 + x2 +6x + 8 = 0,y ≥ 0 y = − a(x− 1)+ 1

{ 2 2 y + x + 6x + 8+ 1 = 0 + 1,y ≥ 0 y = − a(x− 1)+ 1

{ y2 + (x + 3)2 = 1,y ≥ 0 y = − a (x − 1)+ 1

Получили полуокружность и пучок прямых, проходящих через точку $(1;1)$ . Перейдём на координатную плоскость $xOy$ :

1 случай:

$PIC$

При $a = 0$ прямая $y = − a(x− 1)+ 1$ становится параллельной оси абсцисс и проходит ровно через одну точку $C$ полуокружности. Иными словами, $OC$ касается полуокружности – такой случай нам подходит и $a = 0$ – часть ответа.

2 случай:

$PIC$

Когда $a ∈ [− 13;− 15)$ прямая $y = − a(x− 1)+ 1$ пересекает полуокружность ровно в одной точке. Иными словами, мы берём в ответ все прямые, лежащие между прямыми $AO$ и $BO$ , включая $AO$ и исключая $BO$ . $BO$ пересекает полуокружность уже в двух точках.

Вычисления ключевых значений параметра:
Прямая $CO$ (проходит через точку $C (− 3;1)$ ):

1 = − a(− 3 − 1)+ 1,

a = 0.

Прямая $AO$ (проходит через точку $A(− 2;0)$ ):

0 = − a(− 2 − 1)+ 1,

1 a = −3 .

Прямая $BO$ (проходит через точку $B(− 4;0)$ ):

0 = − a(− 4 − 1)+ 1,

1 a = −5 .

Ответ:

$a ∈ [− 1;− 1) ∪{0} 3 5$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но решение недостаточно обосновано	3
ИЛИ
в ответ включена точка $− 15$
ИЛИ
потеряна точка $− 1 3$
ИЛИ
потеряна точка $0$

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
ИЛИ
полученный ответ отличается от правильного включением/исключением двух или трёх точек из набора $− 13,− 15,0$

В случае аналитического решения найдено значение $a = 0$	1
ИЛИ
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ