Будем решать задачу графически. Графиком первого уравнения является уголок, получаемый из графика функции (вершина которого находится в точке ) сдвигом на единиц вправо, если и влево, если а затем сдвигом на единиц вверх. Следовательно, координаты вершины уголка — это Тогда между этими координатами следующая зависимость: Это значит, что парабола является траекторией движения вершины уголка.

Графиком второго уравнения является окружность с центром в точке радиуса

Система имеет единственное решение, если ровно одна из ветвей уголка касается окружности, а вторая ветвь не имеет с окружностью общих точек.

Заметим, что окружность и парабола симметричны относительно оси ординат, следовательно, если и вершина уголка находится в первой четверти, то если левая ветвь уголка касается окружности при тогда при (когда вершина уголка находится во второй четверти) правая ветвь касается окружности. Значит, достаточно рассмотреть только случай

Пусть

Левая ветвь (назовем ее ) уголка задается уравнением или Запишем условие касания луча и окружности через формулу расстояния от точки до прямой: если прямая задана уравнением то расстояние от точки до нее вычисляется по формуле

Заметим, что при использовании этого способа найденные требуют проверки, так как это условие задает касание прямой и окружности, а не луча и окружности.

В случае касания левой ветви и окружности расстояние от центра окружности до должно быть равно радиусу окружности:

Так как мы рассматриваем случай то нам подходят лишь Но при вершина уголка находится в точке (см.рис.), следовательно, уголок, как и окружность, симметричен относительно оси ординат, значит, если есть точка касания уголка и окружности в первой четверти, то есть и точка касания во второй четверти. Следовательно, при уголок и окружность имеют две общие точки, что нам не подходит. Тогда остается только одно значение параметра что соответствует рисунку.

Значит, как говорилось выше, если и вершина уголка находится во второй четверти, то правая ветвь касается окружности при

Следовательно,