а) Да, существует. Например, если мужчина купил 7 кочанов: 6 по 3 кг и 1 по 2 кг. Тогда капусту нельзя поделить поровну, так как ровно один кочан имеет вес, не кратный 3, то есть ровно у одного из мужчин капуста будет иметь вес, не кратный 3. Тогда 10 кг никак нельзя набрать целыми кочанами.

б) Пусть мужчина купил кочанов по 1 кг, — по 2 кг, — по 3 кг. Тогда — целые неотрицательные числа.

Тогда

Значит, делится на 3. Таким образом, и дают одинаковый остаток при делении на 3.

Заметим, что не более 8.

• Если то можем отдать каждому по 4 кочана.
• Если то Тогда одному дадим 4 кочана по 3 кг, а второму — оставшиеся кочаны.
• Если то аналогично предыдущему рассуждению одному дадим 4 кочана по 3 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 3 кочана по 3 кг и 3 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 2 кочана по 3 кг и 6 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 1 кочан по 3 кг и 9 по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

• Если то Тогда Если то одному соседу дадим 6 кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

  Если же то Тогда одному дадим 12 кочанов по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

Таким образом, при всегда можно разделить капусту поровну.

в) Докажем, что все кратные 12, подходят. Пусть

Тогда

• Если то одному дадим кочанов по 3 кг, а второму — оставшиеся.

• Если то

  • Если то одному дадим кочанов по 2 кг, а второму — оставшиеся.
  • Если то С другой стороны, Значит, так как — целые, то существует при котором Тогда в этом случае первому дадим все кочаны по 3 кг и кочанов по 1 кг, а второму — оставшиеся кочаны.

Таким образом, если то капусту всегда можно поделить поровну.

Очевидно, что если — нечетное, то поделить капусту поровну нельзя. Тогда — четное.

Если не кратно 12, то пусть где и — четное.

Теперь рассмотрим случаи, когда равно 2, 4, 6, 8 и 10.

• Если то один кочан весом в 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то один кочан весом в 1 кг и один кочан весом в 3 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то три кочана весом по 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то два кочана весом по 3 кг и один весом в 2 кг нельзя не разрезая поделить поровну.
• Если то три кочана весом по 3 кг и один весом в 1 кг нельзя не разрезая поделить поровну.

Тогда если то кг капусты мы купим кочанами по 3 кг, а кг — так же, как и в случаях ранее.

Таким образом, осталось разобрать случаи, когда равно 2, 4, 6, 8 и 10.

• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочанов по 3 кг и один кочан весом в 2 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочан по 3 кг и один кочан весом в 1 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Отклонимся от стратегии и купим не кочанов по 3 кг, а кочанов по 2 кг. Тогда у нас будет кочана по 2 кг. Ими мы не сможем набрать нечетное количество кг капусты.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочана по 3 кг и один кочан весом в 2 кг.
• Если то нам нужно набрать кг капусты. Это невозможно, если у нас есть кочана по 3 кг и 1 кочан весом в 1 кг.