а) Заметим, что при каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1. Действительно:

• Если было и стало то сумма стала
• Если было и стало то сумма стала

Значит, за 100 ходов сумма увеличится на 100, то есть будет равна Так как числа всегда остаются натуральными, то при такой сумме ни одно из чисел не может равняться 200.

б) Как было показано в пункте а), сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода. Начальная сумма чисел равна 9. Тогда понадобится ровно ход для достижения искомой суммы, которую можно получить путём проведения следующего алгоритма, состоящего из двух операций:

За 145 таких операций мы получим пару Тогда следующим шагом можем получить пару где

в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число». Изначально она равна Далее возможны два варианта: либо Числа и имеют одинаковый остаток при делении на 3, то есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке) всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3. Изначально эта разность равна то есть даёт остаток 1 при делении на 3.

Сумма чисел в паре каждый ход увеличивается ровно на 1, поэтому, так как оба числа в паре не превышают 200, можно сделать не более хода.

Заметим, что если мы сделали ровно 391 ход и получили требуемое, то оба числа равны 200. В таком случае их разность равна 0 и дает остаток 0 при делении на 3.

Таким образом, мы не могли сделать 391 ход. Приведем пример на 390 ходов. Для этого совершим следующий алгоритм 195 раз:

Тогда получим