а) Да, Егор может за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см.

Первым ходом он разделит линейку на две части по 8 см.

Вторым ходом он отрежет от обеих частей по 4 см и получит четыре части по 4 см.

Третим ходом Егор отрежет от всех частей по 2 см и получит восемь частей по 2 см.

Четвертым ходом он отрежет от всех частей по 1 см и получит требуемое.

б) Пусть у Егора в какой-то момент есть частей линейки. Тогда после следующего действия у него будет не более частей. Таким образом, за ход Егор максимум может удвоить количество частей. Значит, за 5 ходов у Егора будет не более частей. Но если линейка длиной в 100 см поделена на части по 1 см, то у Егора должно быть 100 частей.

Значит, Егор не сможет за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см.

в) Из пункта б) мы понимаем, что Егору нужно хотя бы 9 действий, так как

Приведем пример на 9 действий:

Первым действием Егор отрежет часть длиной в 44 см и получит две части: 256 см и 44 см.

Вторым действием Егор отрежет от части в 256 см часть длиной в 128 см и получит три части: две по 128 см и одну 44 см.

Третим действием Егор отрежет от частей в 128 см части длиной в 64 см и получит пять частей: четыре по 64 см и одну 44 см.

Четвертым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 32 см и получит десять частей: девять по 32 см и одну 12 см.

Пятым действием Егор отрежет от частей в 32 см часть длиной в 16 см и получит 19 частей: 18 по 16 см и одну 12 см.

Шестым действием Егор отрежет от всех частей часть длиной в 8 см и получит 38 частей: 37 по 8 см и одну 4 см.

Седьмым действием Егор отрежет от частей в 8 см часть длиной в 4 см и получит 75 частей по 4 см.

Восьмым и девятым действиями Егор поделит все части пополам и в итоге получит 300 частей по 1 см.