Формулы сокращенного умножения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 19. Задачи на теорию чисел

19.12 Формулы сокращенного умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2036

Является ли число $(2016!)3+ 1$ простым?

Показать ответ и решение

3 2 a + 1 = (a+ 1)(a − a+ 1)

Знвчит, при $a = 2016!$ имеет место формула

(2016!)3 + 1 = (2016!+ 1)((2016!)2 − 2016!+ 1)

– делится на $(2016!+ 1).$

Ответ: Нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2035

Найдите $2 (x +y) ,$ если $2 (x− y) = 12,$ $xy = 3.$

Показать ответ и решение

2 2 2 2 2 2 (x+ y) = x + 2xy+ y = x − 2xy+ y + 4xy = (x− y) + 4xy = 12+ 4⋅3 = 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2034

Известно, что $a2− 2017a= b2− 2017b$ и $a2 > b2+ π2. 6$ Найдите $a+b.$

Показать ответ и решение

Исходное равенство равносильно равенству

2 2 a − b = 2017a− 2017b ⇔ (a − b)(a +b) = 2017(a − b)

Значит, либо $a +b = 2017,$ либо $a− b = 0,$ но если $a = b,$ то условие $a2 > b2 + π2 6$ не может быть выполнено.

Таким образом, $a+ b = 2017.$

Ответ: 2017

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#749

Является ли число $20172017+ 1$ простым?

Показать ответ и решение

По формуле суммы нечётных степеней:

2n+1 2n+1 2n 2n−1 2n−2 2 2n a + b = (a+ b)(a − a b+ a b − ...+ b )

тогда, подставляя $n = 1008,$ $a = 2017,$ $b = 1,$ получим:

20172017 + 1 = (2017 + 1)(20172016 − ...+ 1)

– делится на 2018.

Ответ: Нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#748

Делится ли число $(2016!)3+ 1$ на $(2016!+ 1)2?$

Показать ответ и решение

3 2 a + 1 = (a+ 1)(a − a+ 1)

Значит, при $a = 2016!$ имеет место формула

(2016!)3 + 1 = (2016!+ 1)((2016!)2 − 2016!+ 1)

Для того, чтобы произведение в правой части делилось на $(2016!+ 1)2,$ необходимо и достаточно выполнения условия

((2016!)2 + 2− 2016!− 1) ... (2016!+ 1),

что равносильно $((2016!)2 + 2)...(2016!+ 1),$ но $(2016!)2 − 1 = (2016!+ 1)(2016!− 1)$ – делится на $(2016!+ 1),$ следовательно, $(2016!)2 + 2 = ((2016!)2 − 1)+ 3$ не делится на $(2016!+ 1)$ (так как $3$ не делится на $(2016!+ 1)$ ), а тогда и $(2016!)3 + 1$ не делится на $(2016!+ 1)2.$