Рассмотрим набор любых 2015 чисел. Так как их сумма четна, то среди них есть хотя бы одно четное число.

Действительно, если бы все из этих 2015 чисел были нечетными, то и сумма этих чисел была бы нечетной, что противоречит условию. Итак, мы нашли четное число.

Теперь рассмотрим сумму всех чисел без этого четного числа. Она тоже будет четной по условию, так как помимо этого числа на доске ровно 2015 чисел.

Посчитать сумму всех 2016 чисел — это то же самое, что к найденному нами четному числу прибавить сумму остальных 2015 чисел. Так как четное + четное = четное, то получаем, что сумма всех чисел четна.