Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Магический квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами, в которой суммы чисел во всех строках и столбцах одинаковы. Можно ли составить магический квадрат из первых 25 простых чисел?
Докажем, что этого сделать нельзя, от противного: пусть составить такую таблицу можно. Заметим, что среди первых 25 простых чисел только одно четное число — это 2.
Сумма чисел в той строке, в которой стоит 2, будет четной, так как всего в этой строке будет четыре нечетных числа и одно четное. Но тогда в любой строке, в которой нет 2, сумма чисел будет нечетной, так как в такой строке будут стоят пять нечетных чисел.
Следовательно, суммы чисел в строке с 2 и в строке без 2 не могут быть равны. Значит, мы получили противоречие, то есть наше предположение неверно и составить такую таблицу нельзя.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли представить число 1 в виде суммы четырех дробей 
где 
— нечетные натуральные
числа?
Предположим, что указанное разложение возможно. Тогда имеем:
Приведем все дроби в левой части к общему знаменателю:
Так как 
— нечетные натуральные числа, то слева имеем сумму четырех нечетных чисел, а справа нечетное число.
Получили противоречие, значит, таким образом представить число 1 нельзя.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число 10011001?
Предположим, что такое может быть. Пусть 
и 
— целые числа из условия, тогда имеем:
Так как число 10011001 — нечетное, то 
— нечетные. Тогда число 
— четное, а число 
— четное. Но
10011001 — нечетное, следовательно, получили противоречие, а значит, такого быть не могло.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число 123456789?
Предположим, что такое может быть. Пусть 
и 
— целые числа из нашей задачи, тогда
Так как число 123456789 — нечетное, то 
— нечетные. Тогда числа 
и 
— четные. Однако 123456789 —
нечетное, следовательно, получили противоречие.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ряд выписаны числа от 1 до 98. Можно ли между ними расставить знаки «
» и «
» так, чтобы в результате получилось
2?
Среди чисел 1,2,3, ..., 98 всего 49 четных и 49 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество. Поэтому как бы мы ни поставили знаки, в результате всегда получится нечетное число. А так как 2 — четное число, то так расставить знаки нельзя.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 
до 
так, чтобы между единицей и двойкой,
двойкой и тройкой, ..., восьмеркой и девяткой было нечётное число цифр?
Докажем методом от противного. Предположим, что такое возможно, тогда между 
и 
нечётное
число цифр (чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть две ситуации: когда 
между 
и 
, а
также когда 
между 
и 
).
Так как между 
и 
нечётное количество цифр и между 
и 
нечётное количество цифр, то
аналогично между 
и 
нечётное количество цифр.
Аналогично доказывается, что тогда между 
и любой цифрой должно быть нечётное количество
цифр, но ведь у 
должен быть хотя бы один сосед, следовательно, наше предположение неверно.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Максим Олегович написал на доске 2016 целых чисел. Робот Крякен заметил, что сумма любых 2015 чисел четна. Четна или нечетна сумма всех чисел?
Рассмотрим набор любых 2015 чисел. Так как их сумма четна, то среди них есть хотя бы одно четное число.
Действительно, если бы все из этих 2015 чисел были нечетными, то и сумма этих чисел была бы нечетной, что противоречит условию. Итак, мы нашли четное число.
Теперь рассмотрим сумму всех чисел без этого четного числа. Она тоже будет четной по условию, так как помимо этого числа на доске ровно 2015 чисел.
Посчитать сумму всех 2016 чисел — это то же самое, что к найденному нами четному числу прибавить сумму остальных 2015 чисел. Так как четное + четное = четное, то получаем, что сумма всех чисел четна.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли разменять 600 рублей купюрами по 7, 49, 73 рубля так, чтобы всего оказалось 17 купюр? При этом купюры в 7, 49, 73 рубля бывают.
Так как у нас купюры только нечетного номинала и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей. Поэтому сумму 600 рублей разменять нельзя.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Можно ли разменять 1000 рублей купюрами по 5, 25, 125 рублей так, чтобы всего оказалась 101 купюра? (купюры в 5, 25, 125 рублей бывают)
Так как у нас купюры только нечетного номинала и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей. Поэтому не сможем разменять 1000 рублей.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В ряд выписаны числа от 1 до 22. Можно ли между ними расставить знаки «+» и «-» так, чтобы в результате получился 0?
Среди чисел 1, 2, 3, ..., 22 всего 11 четных и 11 нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки, в результате всегда получится нечетное число. А так как 0 — четное число, то так расставить знаки нельзя.
