Разложим исходное выражение на множители:

Это произведение трёх последовательных чисел, следовательно, среди них есть число, которое делится на 2, и есть число, которое делится на 3. Тогда произведение делится на 6.

– произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых последовательных целых чисел всегда есть число, которое делится на , есть число, которое делится на , а также всегда есть два последовательных чётных числа.

Таким образом, при любом число делится на , делится на , делится на , следовательно оно делится и на .

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на .

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на 2 и другое число, которое делится на 4, то всё произведение делится на .

а) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть число, делящееся на 3, следовательно, всё произведение делится на 3.

б) Среди трёх последовательных целых чисел всегда есть чётное число, поэтому, учитывая пункт а), всё произведение делится на 6.

Например, делится на и на , но не делится на .

Имеем . Так как — простое число, большее , то оно нечетное, следовательно, числа — четные. Также заметим, что и — два подряд идущих четных числа, следовательно, одно из них делится не только на , но и на Таким образом, .

Среди трех подряд идущих целых чисел имеется одно число, которое делится на . Следовательно, среди чисел , , есть такое число. Так как этим числом не может быть число (оно простое, то есть не имеет других делителей, кроме и ), то делится на одно из чисел или . Следовательно, их произведение делится на . Таким образом,

Число . Так как делится на , то и делится на Ч.т.д.

Так как , то . Тогда , значит, . Ч.т.д.

а) Запишем оба числа, используя переменные. Пусть первое число имеет вид тогда второе число равно

Так как числа трёхзначные, то ни ни могут быть равны 0, следовательно, обе переменные принимают значения от 1 до 9 включительно.

Не ограничивая общности, можем считать, что Значения переменных можно поменять, а значит, случай рассматривается аналогично. Нам неважно, у кого из братьев на ёлке шариков больше, так как интересует только разность этих двух чисел.

Запишем разность

Пусть и . Тогда:

Пример найден.

б) Запишем разность

Ответ на этот пункт отрицательный, поскольку не является целым числом, а разность двух натуральных чисел и — число целое.

в) Очевидно, что сумма двух трёхзначных натуральных чисел не может быть больше, чем — разности наибольшего и наименьшего трёхзначных натуральных чисел.

Более того, в прошлых пунктах мы заметили, что чтобы и имели натуральные значения, необходимо, чтобы разность чисел и была кратна 99.

Наибольшее число, которое кратно 99 и меньше 899, равно Однако это не ответ, поскольку а то их разность не превышает

Рассмотрим пример для разности

Пусть за каждую песню каждая девочка получит по фантику. Суммируя общее число фантиков по песням, видим, что это число делится на 3, так как каждая песня исполнялась 3 раза. Кроме того, Маша и Нина получили не более 7 и не менее 6 фантиков каждая.

Значит, всего было роздано не более чем и не менее чем фантиков. Единственное число от 25 до 27, кратное 3 — это 27, поэтому спето песен.

а) Да. Пусть дано число Тогда по признаку делимости на 11 должно делиться на 11. Из условия следует, что Проверяем число : кратно 11. Подходит.

б) Возьмем число Пусть Так как число делится на 11, то Заметим, что из и из того, что — цифры, следует, что Следовательно, то есть то есть Значит откуда что невозможно, так как — цифра.

в) Пусть имеется число Заметим, что если нам удастся расставить на местах цифры то полученное число будет наибольшим возможным, так как у него на первом месте стоит самая большая из возможных цифр — 9, на втором — вторая по убыванию цифра 7, на третьем — третья по убыванию цифра 6.

Если число делится на 11, то делится на 11. Оценим это выражение. Наименьшее его значение достигается, когда и равно -1. Наибольшее — когда и равно 11. Следовательно, это выражение равно 0 или 11, поскольку все число делится на 11. Заметим, что — нечетное, следовательно, любая алгебраическая сумма цифр — нечетное число. Следовательно, может равняться только 11. А это достигается, напомним, когда Тогда наибольшее возможное число равно 97635241.

Заметим, что если на доске написано число, которое дает остаток 1 при делении на 3, то по признаку делимости на 3 к нему прибавляют число, которое также дает остаток 1 при делении на 3, и в результате следующее число будет давать остаток 2 при делении на 3.

Если же перед нами число, которое дает остаток 2 при делении на 3, то по признаку делимости на 3 на следующем ходу на доске будет число, которое дает остаток то есть 1, при делении на 3. Получается, что остатки образут чередующуюся последовательность вида , где нет остатка 0. Но 123456 делится на 3, значит, такое число, не получится.

Сумма цифр такого числа равна Значит, по признаку делимости на 3 число кратно 3, так как 30 делится на 3.

Допустим, это число является квадратом. Значит, если оно делится на 3, то делится и на 9. Следовательно, по признаку делимости на 9 сумма цифр этого числа тоже должна делиться на 9, но это не так. Противоречие. Значит, число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, не может быть квадратом некоторого другого натурального числа.

Обозначим через и сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что кратно 9, а кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому делится на 18, а — на 22. Также заметим, что

Если то Но из этого следует, что чего не может быть в силу чётности и

Если то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку

Пусть Тогда или . В первом случае одно из чисел и равно 29, а другое — 7, чего не может быть. Во втором случае Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное.

Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше

Заметим, что одно из чисел делится на 3, также среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное. Тогда произведение делится на

Обозначим сумму цифр исходного числа через Сразу отметим, что после перестановки эта сумма цифр не изменилась. При этом, так как исходное число уменьшилось в 3 раза, то оно делилось на 3. Тогда и его сумма цифр делилась на 3. Итак, делится на 3.

Далее, после того, как число поделили на 3, его сумма цифр по прежнему равна то есть делится на 3. Значит, после того, как число поделили на 3, оно всё еще делится на 3. Это означает, что исходное число делилось на 9. Тогда и сумма цифр исходного числа делилась на 9. Итак, делится на 9.

Наконец, после уменьшения числа в 3 раза сумма цифр числа осталась прежней, значит, эта сумма цифр всё еще делится на 9. Тогда и всё число по прежнему делится на 9. Поэтому до уменьшения в 3 раза оно делилось на что и требовалось доказать.

 

Замечание. Приводить пример таких чисел, конечно, не требуется, но сказанное в условии вполне возможно: например,

Число поэтому мы можем отдельно воспользоваться признаками делимости на 9 и на 25.

Начнем с признака равноостаточности при делении на 25: число дает такой же остаток при делении на 25, что и число, образованное его последними двумя цифрами. В нашем случае, чтобы число делилось на 25, оно должно оканчиваться либо на 00, либо на 25, либо на 50, либо на 75. Так как по условию число состоит только из нулей и единиц, подходит лишь 00. Итак, мы выяснили, что число оканчивается на 00.

Теперь, определив однозначно последние две цифры, чтобы сделать число минимальным, нужно минимизировать число без двух последних цифр. Воспользуемся признаком равноостаточности при делении на 9: число дает такой же остаток при делении на 9, что и его сумма цифр. В нашем случае необходимо, чтобы число делилось на 9, поэтому и сумма цифр должна делиться на 9. Нули в записи не меняют сумму цифр числа, поэтому сумму цифр, делящуюся на 9, мы можем получить только из единиц. Если сумма цифр числа будет 18 или больше, то нам придется использовать хотя бы 18 единиц, и тогда в числе будет 20 или больше знаков, а у нас есть пример на меньшее число.

Если сумма цифр числа равна 9, то нужно использовать девять единиц. Так как наличие нулей в записи на делимость не повлияет, но лишь увеличит количество знаков в числе, а значит и его значение, но минимальным подходящим числом является 111 111 111. Приписав к этому числу два нуля в конец, мы получаем искомый ответ.

Замечание. Обратите внимание на два важных момента. Во-первых, мы можем минимизировать число без двух последних цифр только потому, что они определились однозначно. Если бы у нас получилось несколько вариантов последних двух цифр, то мы бы не могли так просто их отбросить, пришлось бы рассматривать несколько случаев и в каждом искать минимум, а уже потом выбирать самое маленькое число.

Во-вторых, было бы грубой ошибкой написать, что число тем меньше, чем меньше его сумма цифр. Это не правда: но Обратите внимание, как мы обошли эту проблему при написании решения: мы отдельно сказали, что случай с суммой цифр 18 или более нам не подходит, так как у нас есть пример на меньшее количество знаков. А уже потом объяснили, почему при сумме цифр 9 наше число минимальное.

Обозначим делимое через а сумму его цифр через Тогда должно быть верно равенство

Вычтем из обеих частей Как мы знаем, число дает такой же остаток при делении на 3, что и его сумма цифр. Поэтому делится на 3. Тогда разность делится на 3, так как и и делятся на 3. Но эта разность равна 2020. Это число по признаку дает остаток 1 при делении на 3. Противоречие, значит, такое равенство невозможно, и Грут ошибся.

Вспомним признак равноостаточности при делении на 9: число дает при делении на 9 такой же остаток, что и его сумма цифр. Отсюда следует, что после первого же действия мы из исходного числа вычтем другое число, которое дает такой же остаток при делении на 9, что и исходное. Поэтому новое число будет делиться на 9.

Далее из числа, делящегося на 9, будем вычитать сумму его цифр, которая также по признаку делимости делится на 9. Таким образом, число на доске после первого действия и до самого конца будет делиться на 9. Значит, и появившееся однозначное ненулевое число делится на 9. Такое число всего одного — это само число 9. Поэтому именно оно и будет написано на доске, когда Максим Олегович перестанет заниматься своим бесполезным делом.

Произведение чисел от 1 до 15 делится на 9. Поэтому мы можем применить признак делимости (равноостаточности) при делении на 9. Посчитаем сумму цифр числа без звездочки. Она равна

Прибавив к этой сумме цифру, которая была на месте звездочки, мы должны получить сумму, которая делится на 9: только тогда всё число будет делиться на 9.

Этого можно добиться, только прибавив цифру 8: ближайшее число, большее 37 и делящееся на 9, равно 45, и как раз его мы и получим. А сумму больше получить нельзя, так как мы прибавляем цифру, то есть число меньше 10. Значит, на месте звездочки находилась цифра 8.