Сначала придумаем какое-нибудь число, у которого произведение цифр равно 630. Для этого разложим число 630 на простые множители:

Значит, у числа 23357 произведение цифр равно 630. Единственная проблема заключается в том, что оно не стозначное. Это легко исправить: заметим, что мы можем дописать к числу сколько угодно единиц, от этого произведение цифр не изменится.

Поэтому припишем к числу 23357 справа 95 единиц, чтобы сделать его стозначным. В результате получится число

Оно подходит под оба условия.

Сначала разложим число 1000 на простые множители:

Так как произведение двух натуральных чисел делится на 1000, то все эти простые множители раскиданы по двум множителям.

Пусть в один множитель попали одновременно «2» и «5». Тогда это число делится на 10. Но по условию ни одно из чисел на доске не делится на 10. Значит, пятерки и двойки попали в разные множители. Таким образом, все двойки должны оказаться в одном числе, а все пятерки в другом. Получаем два множителя:

Поэтому исходные числа можно представить как и , где — целые числа. Однако еще добавим, что не делится на 5, а не делится на 2, чтобы выполнялось условие о том, что исходные числа не делятся на 10.

Обозначим меньшее число в паре через тогда второе число равно Заметим, что числа и разной четности, поэтому одно из них делится на 2. При этом это число простое.

Единственное простое число, которое делится на 2, — это само число 2, ведь в противном случае у числа было бы хотя бы три делителя: 1, 2 и само число. При этом двойке может равняться только меньшее из чисел. Значит, и

Нетрудно убедиться, что 17 — простое число, следовательно, пара — единственная подходящая.

Разложим число 2310 на простые сомножители:

Заметим, что число 11 простое, и никакое число, являющееся произведением цифр, не может делиться на 11. Значит, произведение цифр натурального числа не может быть равно 2310.

Разложим число 10000 на простые множители:

Тогда каждое из двух исходных чисел может содержать в своем разложении на простые множители только 2 и 5. Заметим, что если число одновременно содержит и двойку и пятерку в своем разложении, то оно делится на 10, что противоречит условию.

Поэтому одно число содержит только двойки, а значит, оно равно

Второе число содержит только пятерки, следовательно, оно равно

Тогда сумма этих чисел равна

Будем делить число на до тех пор, пока не получится нечетное число:

Затем будем делить на : Итак, Степени мы определили посчитав то, сколько раз мы делили на то или иное число .

Разложим число 1330 на простые множители:

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа, но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число 19. Следовательно, такого числа не существует.

Разложим число 594 на простые множители:

Пусть это произведение цифр какого-то целого числа. Цифры — это

Но ведь никакая цифра не содержит в своем разложении на простые множители число 11. Следовательно, числа с требуемым свойством не существует.

Найдем площадь прямоугольника:

Обе стороны прямоугольника должны быть не меньше 9, так как присутствует квадрат со стороной 9. Тогда единственный вариант разложения числа 464 на 2 множителя: Периметр прямоугольника в это случае будет равен 90.

 

Замечание.

По условию сказано, что прямоугольник разбит на квадраты. Это значит, что какое-то разбиение существует. Мы сейчас на самом деле доказали, что если разбиение и существует, то только когда этот прямоугольник со сторонами 16 и 29. Так как из условия следует, что разбиение существует, то нам приводить пример этого разбиения необязательно. Вот если бы мы нашли два возможных варианта ответа, нам пришлось дополнительно приводить к каждому из них пример. Тем не менее, пример действительно есть, и дотошный читатель может его без проблем нарисовать.

Запишем разность между двумя числами. Число можно представить как Поэтому число можно вынести за скобки. Тогда получим

 

Умножив число на 2, получим число что ровно на 1 больше чем Поэтому разность в скобках равна -1. Значит, разность первого и второго чисел отрицательна, то есть второе число больше.

Разность, как мы уже посчитали выше, равна Поэтому второе число больше на

Разложим каждое число на простые множители:

Чтобы произведения в двух группах были равны, нужно разделить одинаковые простые множители поровну между двумя группами.

Отметим, что простой множитель 11 встречается всего в двух числа 22 и 66 по одному разу. Значит, эти числа должны быть в разных группах.

Точно так же с простым множителем 3: он встречается только в числах 6 и 66. Значит, они должны быть тоже в разных группах. Поэтому пока что мы получаем, что в одной группе находятся числа 22 и 6, а в другой — число 66.

Посмотрим на простой множитель 5. Он встречается в числах суммарно 4 раза. Сразу две пятерки встречаются в числе 25. Значит, число 25 должно быть в одной группе, а числа 10 и 40 — в другой.

Рассмотрим два случая: когда числа 66 и 25 в одной группе и когда они в разных группах.

Случай 1.

Числа 66 и 25 в одной группе. Тогда в другой группе, как уже было доказано выше, находятся числа 6, 22, 10 и 40. В них суммарно находится 6 множителей 2: по одному в 6, 22 и 10 и сразу три в числе 40. Всего двоек во всех восьми числах в сумме

Поэтому на другую группу остается не более четырех двоек. Значит, произведения в двух группах точно не будут равны, так как в одной группе двоек будет больше, чем в другой. Этот случай невозможен.

Случай 2.

Числа 66 и 25 в разных группах. Тогда в одной группе находятся числа 66, 10 и 40, а в другой — 6, 22, 25. Остались нераспределенными только числа 2 и 4. В группе 66, 10 и 40 суммарно пять двоек. Как мы уже считали, всего двоек десять. Это значит, что все остальные двойки должны быть в другой группе. Поэтому в этом случае мы получаем единственное возможное распределение:

Нетрудно проверить, что оно подходит.

Итак, мы рассмотрели оба возникших случая. В одном доказали, что подходящих распределений нет. В другом доказали, что возможно одно распределение, и проверили, что оно подходит. Значит, есть единственный способ разбить числа на две группы с одинаковыми произведениями.

Разложим для начала число 1944 на простые множители:

Таким образом, если оставить число из трех двоек и пяти троек, то произведение его цифр будет равно 1944. Значит, один из возможных примеров — это 22233333.

Замечание.

Конечно, подходящих чисел намного больше. По условию достаточно придумать лишь одно число, что и было сделано.

Действительно, рассмотрим числа

Каждое число вида где делится на так как оба слагаемых делятся на Эти числа идут подряд и их количество равно Тогда пример удовлетворяет условию задачи.

Подходят, например, числа

На первое число не делится произведение никаких двух из остальных чисел, так как первое число содержит 2 в третьей степени, а остальные числа — только в первой.

Аналогично для второго, третьего и четвертого чисел и множителей 3, 5 и 7 соответственно.

Легко проверить, что произведение любых трех чисел при этом делится на оставшееся число.

Расставим на всех ребрах куба различные простые числа. В каждую вершину запишем произведение чисел на ребрах, выходящих из этой вершины. Очевидно, что при такой расстановке числа, стоящие в соседних вершинах, не будут взаимно просты, ведь они оба делятся на некоторое простое стоящее на ребре между этими вершинами.

Если же вершины и не смежны, то не существует ребра, которое входит и в и в Значит, и наборы простых множителей для вершин и не пересекаются, следовательно, числа в этих вершинах взаимно просты.

Пример можно получить, если расставить на ребрах первые 12 простых чисел:

а) Возьмем число

Половина этого числа равна то есть является квадратом числа

Треть этого числа равна то есть является кубом числа

б) Возьмем число

Половина этого числа равна то есть является квадратом числа

Треть этого числа равна то есть является кубом числа

Пятая часть этого числа равна то есть является пятой степенью числа

Пусть .

Так как числа и взаимно просты, то число само представимо в виде

а число представимо в виде

Тогда и имеем:

Отсюда

что невозможно при условии

Следовательно, наше предположение неверно и не может быть степенью натурального числа.

У числа всегда есть натуральные делители и . При эти делители различны. Также понятно, что не подходит.

Если у числа есть делитель , то у него есть и делитель . Чтобы количество делителей у было нечётным, необходимо, чтобы для некоторого делителя было выполнено , то есть должно быть выполнено .

Для делимости только на , и необходимо и достаточно, чтобы было простым, то есть разложение на простые множители должно иметь вид . Таким образом, например, подходит число .

Так как для некоторого простого , то все отличные от делители этого числа тоже должны быть степенями . Тогда либо

, либо

В случае имеем: , тогда – подходит по условию.
В случае имеем: то есть должно делиться на – степень простого числа, что возможно только в случае, когда или .

При имеем: , , – не подходит.

При имеем: , , , тогда – подходит по условию.

Итого: ответ , .

Пусть , . При этом пусть делится на простое число , тогда делится на . Если бы при этом не делилось на , то имело бы разложение на простые множители вида

где при любом имеем . Тогда

— тоже не делилось бы на .

Таким образом, делится на , но тогда делится на . Значит, если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат этого простого числа.

Число не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число , но не делится на , поскольку в произведении только множитель делится на .