Тема 19. Задачи на теорию чисел
19.05 Основная теорема арифметики (ОТА)
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи на теорию чисел
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#740

При каких натуральных n  число 4n2 − 9  является степенью простого числа (первой, второй, третьей и т.д.)?

Показать ответ и решение

4n2 − 9 = (2n − 3)(2n + 3)

Так как 4n2 − 9 = pm  для некоторого простого p  , то все отличные от 1  делители этого числа тоже должны быть степенями p  . Тогда либо

1)  2n − 3 = 1  , либо

2)

{
  2n − 3 = pk
             k+l
  2n + 3 = p
В случае 1)  имеем: n = 2  , тогда 4n2 − 9 =  7 = 71   – подходит по условию.
В случае 2)  имеем:
 k+l    k                  k  l
p    − p  = 6     ⇔       p (p − 1) = 6,
то есть 6 = 2 ⋅ 3  должно делиться на pk  – степень простого числа, что возможно только в случае, когда  k
p  = 2  или  k
p  = 3  .

При  k
p =  2  имеем: p = 2  , k = 1  , n = 2,5  – не подходит.

При pk = 3  имеем: p = 3  , k = 1  , n = 3  , тогда 4n2 − 9 = 27 = 33   – подходит по условию.

Итого: ответ n =  2  , n = 3  .

Ответ: 2, 3

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!