Пусть , . При этом пусть делится на простое число , тогда делится на . Если бы при этом не делилось на , то имело бы разложение на простые множители вида

где при любом имеем . Тогда

— тоже не делилось бы на .

Таким образом, делится на , но тогда делится на . Значит, если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат этого простого числа.

Число не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число , но не делится на , поскольку в произведении только множитель делится на .